Является ли категория состояния самостоятельной частью речи?

Нет, эти слова так и называют: слова категории состояния. Их не так много, поэтому, видимо, и не выделили.

У лингвистов действительно разные мнения относительно статуса
и состава категории состояния в русском языке. Тем не менее,
вопрос поддаётся объективному анализу. Чтобы ответить на него,
надо сравнить слова, относимые к этой категории, с наиболее
близкими к ним - прежде всего, наречиями, а также некоторыми именами прилагательными и существительными (упомянутые в
первом ответе причастия и деепричастия здесь совершенно
ни при чём) .

Отличие категории состояния от наречий и имён принципиально.

В русском языке её составляют несклоняемо-именные и
наречные слова, которые выражают состояние субъекта или
объекта высказывания.

Эти слова имеют аналитические формы будущего и прошедшего
времени и сослагательного наклонения и выступают в функции сказуемого, причём не только в безличных предложениях но и в
личных (мне стыдно, ей было лень, вам здесь будет удобно, я ему должен и т. п.) . К ним далеко не всегда можно задать вопрос.

От наречий их отличает наличие форм времени,
предикативность (функция сказуемого) и неспособность
определять глагол и прилагательное, т. е. быть признаком
действия или другого признака.
От имён существительных и прилагательных - то же плюс
отсутствие форм склонения.

Например, "он легко вскочил на ноги" и "на душе легко".
В первом случае "легко" - это кач. наречие, определяющее
глагол, а во втором - безлично-предикативное слово, не
соотносимое ни с каким глаголом, типичное слово из категории состояния.

С категорией состояния сближаются также краткие
прилагательные, которые, в отличие от полных, как известно,
обладают свойством предикативности, т. е. могут выступать
в качестве сказуемого.

Из таких слов окончательно перешли в категорию состояния
краткие прилагательные, которые не имеют соотносительных
полных форм (по крайней мере, с тем же лексическим
значением) : рад, горазд, должен, прав, намерен и т. д.
Ср. "я намерен" (т. е. собираюсь что-то сделать) и
"намеренный поступок" (т. е. заранее продуманный) .

Категория состояния интенсивно развивается и пополняется
за счёт других частей речи. Например, в неё переходят
существительные, развивающие в себе отвлечённые
значения и "десубстантивирующиеся": грех жаловаться,
охота тебе с ним спорить, мне недосуг и т. п.

Как самостоятельный разряд слов КС выделяется также
в английском языке, но там она несравненно беднее, чем
в русском.

В свете сказанного очевидна самобытность слов категории
состояния или предикативов, как их ещё называют, и ясное
отличие их от ВСЕХ известных частей речи. Отказ от признания
таких слов самостоятельной частью речи требует либо включения
их в одну из уже известных ЧР, что невозможно по описанным
выше причинам, либо признать, что они вообще не являются
никакой частью речи, т. е. отказаться от их научного анализа.

Предыдущий ответ чень полный. Следует отметить, что разные учебники русского языка отражают эту тем по-разному. Спросите у педагога, какое мнение он поддерживает, и следуйте его точке зрения - меньше проблем будет