В предложений "Доктор настаивал чтобы Майк оставался в постели" будет ли согласование времен? (Англ язык)

"Чтобы оставался" - это сослагательное наклонение, поэтому правило согласования времён в изъявительном наклонении не действует. Употребляйте либо герундий, как было сказано выше, либо Subjunctive Mood:
The doctor insisted that Mike should stay in bed.

The doctor insisted on Mike('s) staying in bed.
речь не о прошлом, а о будущем
поэтому герундий простой, а не перфектный

Объясняю, только Все неправы, все закидают тапками.
Это довольно частый экзаменационный ESL вопрос. Это causative verbs. После них или bare infinitive или to- infinitive.
Обычный (to-) infinitive употребляетс после таких глаголов как :get, help, allow, permit, require, etc.
Но insist - active causative verb, после него будет bare infinitive.
Правильно:
The doctor insisted that Mark stay (именно так, без -S) in bed.

Берем сложноподчиненное предложение.
Отношения Subject и Agent, S вынуждает, разрешает Agent что то делать.
Формула: Subject -Causative Verb, THAT Agent - Verb in Bare Infinitive
то есть если в главном предложении causative verb (have, let, make, persuade, insist, etc.) в подчиненном предложении глагол, выражающий требование идет в голом инфинитиве, без окончаний .
I had Mark fix my car.
They insisted that she come back home.

The new regulation permitted to ...

Коряво объяснила, мнетправда трудно по русски про грамматику. Если не верите - ищите causative verb bare infinitive