Какие признаки упрощения падежной системы и развития аналитизма в русском языке вы можете назвать?

Не вызывает сомнений, что русский язык является языком синтетическим, то есть имеет прежде всего разветвленную, шестичленную систему падежных противопоставлений и характеризуется избыточностью в средствах выражения грамматических значений: не только флексии, но и предлоги, интонация, порядок слов. Ср. два словосочетания: резать ножом - абстрактная семантика орудийности передана при помощи творительного падежа, формальным показателем которого является окончание -ом; играть на свирели - то же грамматическое значение, выражаемое внутри слова посредством предложного падежа, а значит, посредством флексии -и, дополнительно поддерживается предлогом на. Получается, что предлоги в качестве служебных слов специализируются в русском языке на уточнении синтаксических отношений, следовательно, беспредложные сочетания зачастую синонимизируются с предложно-падежными конструкциями.

Однако в русском языке обнаруживаются яркие признаки аналитизма - раздельного выражения лексического и грамматического значений: первое передается в пределах слова, второе - вне его, а именно с помощью вспомогательных слов и средствами контекста (степени сравнения прилагательных и наречий, будущее время и нек. др.) . Например, буду красить - морфологического значение будущего времени, 1 лица, единственного числа выражено специальной формой от глагола быть.

Итак, падежные формы входят в состав парадигматического ряда, что характеризует их как единицы позиционно взаимоисключающие. Если же вместо разных форм используется одна, то она позиционно безразлична, ибо ее параметры заданы парадигматически, а не синтагматически. Следовательно, в самом общем виде стремление к аналитизму есть превращение "парадигматически слабых позиций в парадигматически сильные". Важнейшими следствиями этого процесса можно считать уменьшение формального контраста между падежами и осложнение системы синтаксических рядов, что отмечалось еще в первой половине XX века: "С развитием аналитических отношений, расширяющих функции предлогов и усложняющихся значения падежей, груз грамматического выражения перекладывается с падежной формы на предлог".

В русском литературном языке выделяется семь групп слов (нарицательных и собственных имен) , которые обнаруживают тенденцию к несклоняемости. Основную их часть составляют слова, заимствованных из западноевропейских языков, другую часть - незаимствованные слова, большинство которых возникли в советскую эпоху:

1. иноязычные слова с конечными согласными, -а, -о, -е, -э, -и, -у, -ю (алоэ, бра, досье, кикуйю, пони, табу, эмбарго) ;
2. буквенные и звуковые аббревиатуры (ВВС, ГОЭЛРО, МГУ) ;
3. сложносокращенные существительные (замдиректора, комроты, управделами) ;
4. фамилии на -их, -ых, -аго, яго, -ово (Дурново, Живаго, Русских) ;
5. фамилии, оканчивающиеся на -ко (Авдеенко, Зинченко, Мельниченко) ;
6. фамилии типа Бегун, Муравей, Рубец в применении к лицам женского пола. Подобные фамилии в ономастической литературе называются нестандартными, так как они не оформлены специальными фамильными - "стандартными" - суффиксами (-ов, -ев, -ин, -ын, -ск и нек. др.) . Однако на том же основании их можно считать стандартными, "подведенными" под общую - бесформантную - модель;
7. географические названия на -ово, -ево, -ино, -ыно (Давыдково, Тушино) .

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ещё....это не относится к упрощению, скорее наоборот... в русском появилась некая форма Звательного падежа. Это не старый Звательный падеж, а немного иная форма. Но функции похожие =)
Например:
мама --> мам!
Оля --> Оль!
Саша --> Саш!
Катя --> Кать!
дед --> деда!
....и т. п. Думаю, это только разговорный язык...

Первое, что пришло в голову - исчез звательный падеж!

насчет аналитизма не знаю.

а вот про упращение падежной системы - сейчас 6 падежей (Именительный, Родительный, Дательный, Винительный, Творительный, Предложный) . раньше еще были Местный и Звательный (напр, "Чего тебе надобно, старче? ")