В немецком какая разница между der Karotte и die Mohre?

Это одно и то же. 1-ое слово латинское, а 2-ое германское.

Примерно как между "баклажанами" и "синенькими".

Die Karotte (Daucus carota subsp. sativus), auch bezeichnet als Mohre, Mohrrube, Gelbrube, Gelbe Rube, Ruebli, Riebli oder Wurzel.
Die Bezeichnung Karotte oder Mohre fur die Pflanze wie auch die Rube ist regional unterschiedlich: In Nord- und Ostdeutschland uberwiegt Mohre, wobei in den nordlichen und sudlichen Bundeslandern junge Ruben Karotten genannt werden; Sorten mit kleinen, kugelformigen Wurzeln werden bundesweit als Karotten bezeichnet.

Karrotte - от латинского carriota, что и означает "морковь" (вспомнили слово "каротин" и как нас заставляли есть морковь в детстве?)))) ) А die Möhre - слово германо-скандинавского происхождения. Вот в английскои языке (тоже язык германской группы) есть еще одно слово для дикой и огородной моркови - rantipole :))

DUDEN · Das große Wörterbuch der deutschen Sprache, 4. Aufl. (2012):

— Ka|rọt|te, die; -, -n:

1. [älter niederländisch karote < französisch carotte < lateinisch carota < griechisch karōtón = Möhre, Karotte] [zarte, junge] Möhre [einer kleinen, runden Art]:   Leipziger Allerlei aus Erbsen, Karotten und Spargelabschnitten.
2. (rheinisch) Rote Rübe, Rote Bete.

— Möh|re, die; -, -n [mittelhochdeutsch mörhe, morhe, althochdeutsch mor[a]ha, Herkunft ungeklärt]:

1. Pflanze mit mehrfach gefiederten Blättern und orangefarbener, spindelförmiger, kräftiger Wurzel, die besonders als Gemüse gegessen wird:   die Möhren blühen.
2. Wurzel der Möhre (1).

Т.е. Möhre - общее название, Karotte - одна из разновидностей (каротель).

Die Karotte это разновидность моркови, которую у нас на севере Германии немцы могут и просто Würzel называть.

Это одно и то же.