как по-английски ""идёт дождь"", но не в continuous?

Предложение вообще непонятное, и половина слов - не английские.

А вообще глагол, означающий "идти дождю" - to rain.

В зависимости от ситуации нужно поставить его в соответствующее время.

Я тоже не поняла вашей фразы, поэтому приведу свои примеры.
В городе часто идет дождь. - It rains a lot in the city.
В последнее время часто идет дождь. - It's been raining a lot recently.

У Вас и так написано, что дождь идёт. Вы уверены, что надо именно про дождю вставить?

Будьте осторожны со словом dull, оно хоть и применяется к погоде (в значении "пасмурно"), но более популярное его значение - "тупой" в значении уровня умственного развития, т. е. ваше предложение может приобрести окрас раздражения.
Vile запросто можно использовать к погоде в значении "отвратительный".

Предложение у вас какое-то смешанное, не совсем понятен смысл. Я бы построила так:

В последнее время в моем городе отвратительная погода. Часто идет дождь.

It has been vile weather in my city lately. It often rains.

vile weather/nasty weather - это не просто дождь, а скорее storm, blizzard, или что похуже. У Вас она скорее dreadful или как раз dull. Как вариант: The weather has been dreadful in my city lately, it's been raining a lot. Или даже The dreadful rainy weather painted the city dull and dreary. - хотя это уже, наверно, чересчур.

It rains