Учительница по английскому написала следующие предложение ребенку в тетрадке:

The field will be covered WITH snow in winter.

а где "поля"? Я вижу только поле. Вероятно речь о каком-то конкретном поле. "Зимой снег покроет это поле".

Не нужно копать под вашу учительницу. С грамматикой всё нормально.
Mother, Father могут использоваться без артикля, когда речь идет о своих родителях, но слова при этом пишут обязательно с большой буквы.
Артикли были использованы с целью конкретизации (для обстоятельства и дополнения).

Вы чего-то не понимаетеБез артикля бывают уникальные объекты и некоторые исключения. У вас что, несколько мам, например? The field - во-первых, оно в единственном, во-вторых, это, скорее всего, из какого-то текста. Потому что снег покрывает все, а здесь о каком-то конкретном поле. the article - потому что имелся в виду конкретный отрывок, который Ник должен был перевести, а не просто какой-нибудь.
1. Mother has made some pies.
2. Snow will cover the field in winter
3. The secretary is answering the letters.
4. At 6 o'clock Nick was translating the article.
1. Some pies have been made by mother.
2. The field will be covered by snow in winter.
3. The letters are being answered by the secretary.
4. The article was being translated by Nick at 6 o'clock.

все написано верно за исключением o'clock.

Везде есть конкретика, Ник переводил не абы какую, а одну конкретную статью, то же самое с полем, говорится об одном конкретном поле. Секретарь туда же. Обычно перед членами семьи ставят притяжательные местоимения или ничего, но не артикль