Как правильно написать следующее предложение:

Возможно и так и этак.
Подробности см. здесь:
http://gramota.ru/spravka/letters/?rub=bolshinstvo

осуществляЕТ... потому что здесь глагол согласовывается с существ. сред. рода "большинство".

Осуществляет кто?
Большинство.
Поэтому "-ет".

Я думаю, осуществляЕт, т. к. "большинство" в данном предложении - подлежащее, которое согласуется со сказуемым. А если "Люди в большинстве своём", то "осуществляЮт. " Я так думаю.

их же несколько, поэтому ют

Слово Большинство в ед числе, поэтому-ЕТ.

Сказуемое ставится в единственном числе если собирательное числительное (большинство) имеет при себе управляемое слово в родительном падеже (людей) , что в данном случае имеет место быть.
Однако, сказуемое может стоять во множественном числе при так называемом о б р а т н о м с о г л а с о в а н и и, т. е. согласовании связки не с подлежащим, а с именной частью составного сказуемого, например: Большинство группы были приезжие. Так что можно сделать вывод, что все зависит от того, куда вы ставите ударение. У вас б о л ь ш и н с т в о осуществляет деятельность или же большинство л ю д е й (а не роботов) осуществляют деятельность.

ЮТ подходит лучше

"Большинство" - это подлежащее, "считает" - сказуемое, больше подходит ЕТ. Если бы подлежащее было "люди" или "все", то лучше было бы ЮТ.

наверно ют, что вроде множественного числа