Английский, нужна помощь-объяснение, возникла непонятка

Потому что в английском языке есть такое понятие - multi part verb, то есть составные глаголы - они состоят не из одного слова, а из двух и более, что иногда влияет на смысл.
Пример: глагол look - смотреть. look for - искать. look after - приглядывать.
Так и здесь listen - общий глагол слушать (звуки, музыку, обстановку). Multi-part "listen to" - слушать конкретно кого-то. В первой фразе есть "to", потому что она здесь употребляется как составная часть multi-part глагола "listen to" (а не как частица, указывающая на инфинитив).
multi-part глагола "feel to" не существует, поэтому во второй фразе частицы "to" нет.

Зачем здесь to? Частица to - показатель инфинитива, а здесь после started идёт герундий, а не инфинитив.

Иногда с помощью частицы to передаётся другой смысл:

I stopped to look - я остановился посмотреть (инфинитив цели).
I stopped looking - я перестал смотреть.

В случае с глаголом to start такого сильного различия нет, I started listening и I started to listen из примера обозначали бы, в принципе, одно и то же. Но иногда такую разницу увидеть можно:

She started to jump - она приготовилась к тому, чтобы прыгнуть.
She started jumping - она запрыгала, она начала прыгать.

Отличие в том "She started to jump" в каких-то контекстах вполне можно перевести и как "она запрыгала", а "she started jumping" можно перевести только как "она запрыгала, она начала прыгать" и никак иначе.

Ещё пример:

Нe helped me run away - он помог мне убежать.
Нe helped me to run away - он помог мне, чтобы убежать (самому).