"Не" пишется слитно или раздельно в предложении: "Подошва - не тяжелая." И нужно ли ставить тире?

Тире не нужно в данном случае.
НЕТЯЖЕЛАЯ, так правильно ( см. пункт 2 в левой колонке, на картинке).

Написание НЕ с прилагательными:

Вообще, слитно звучит коряво. Посмотрел в Гугле. "Нелёгкая" слитно и раздельно употребляются одинаково часто. А "нетяжёлая" слитно употребляется в десять раз реже, чем раздельно".

Объяснить можно сложным строением слова "тяжёлая". Дополнительно усложнять его слитной "не" не стоит. Слишком сложные слова, равно как и слишком простые, являются признаком дурного тона и даже слабого интеллекта)

Так что я бы не рискнул писать слитно. А правила - понятие растяжимое. Сегодня одни, завтра - другие. И у всех есть исключения.

Тире можно ставить всегда, когда хотим сделать паузу или придать фразе многозначительность

Подошва не тяжёлая.

Подошва нетяжелая. Пишется слитно так как можно заменить синонимом без "не". Тире не нужно

НЕТЯЖЕЛАЯ ПИШЕТСЯ СЛИТНО
Прилагательное нетяжелый, синонимичное слову "лёгкий", пишется слитно при условии, что в предложении нет противопоставления и слов отнюдь не, вовсе не, далеко не. Сравним:
Нетяжелый груз - свой собственный ребенок.
Не тяжелым, а легким мне показался поначалу мешок с зерном.
Этот ящик с апельсинами вовсе не тяжелый.
Этот груз отнюдь не тяжелый для меня.
Мой портфель с учебниками кажется далеко не тяжелым.
Если же в предложении имеются слова, указывающие на степень признака, наречия меры и степени: очень, крайне, весьма, совсем, совершенно и т. д. - они не влияют на слитное или раздельное написание не с прилагательными.
Этот мешок совсем (очень, крайне) нетяжёлый (= лёгкий).