Почему, доктор ВАТСОН, а Эмма УОТСОН? или они ватсоны, или уотсоны

Существуют два способа передачи английских фамилий на русском языке. Первый: традиционный - так было до середины 20 века, второй - современный.
Ватсон - традиционный вариант.
Уотсон - современный.

Watson по-немецки читается как Ватсон, по-английски как Уотсэн.
Лет 100 назад было принято немецкое произношение, а с середины-конца 20-го века - английское.

Так легче произносить для русских.

Да, я тоже думал что Джеймс Ватт, и Джеймс Уатт - разные люди.

Это одна и та же фамилия, просто переводчики разные - один гугол, другой хуяндекс...

Дело в том, что в английском этот звук промежуточный между В и У. Вот и переводят кто в лес, кто по дрова.

а вот в моем издании в Этюде в багровых тонах, доктор Уотсон, Дойл. К. Избранное: (пер. с английского) - Челябинск: Юж. -Урал. кн. Изд. 1979. -495с. текст напечатан по изданиям 68 и 78 года других издательств.

Да, современный! Вот так и гуторим: Уатт, Уебстер, Уезер, Уельс..
Академице по ходу Вери Уелкиной-Пламенецкой и слога не жалко, лишнего... Не убудет!.

фамилия одна но перевели разные переводчики

Потому что и Ватсон - на самом деле Уотсон, в советских фильмах не придавали большого значения правильному произношению иностранных фамилий

"И как правильно пишется Уотсон или Ватсон? "
Буква W не имеет точного аналога в русском языке, как в других языках, например, нет звука Ы или Щ и нет соответствующих букв.
Поэтому переводчикам приходится передавать их приблизительно. И получаются расхождения. И то, и другое правильно.
Вильям или Уильям? Главное, произносить это кратко, не тянуть У.

Буква "w" читается как " у ", " в", " ув".