Если доктор женского пола, о нем в третьем лице говорят "Он" или "Она"?

Ошибкой не будет.
1. Сказуемое в книжно-письменных стилях (особенно в строгой официально-деловой речи) ставится в форме мужского рода: 1) при отсутствии собственного имени; 2) если сказуемое предшествует сочетанию «рассматриваемое слово + собственное имя»: Диссертант изложил интересные наблюдения. Уже известный читателям автор предложил новую статью. Увлекательные заметки предложил редакции известный автор Н. Петрова;
2. Сказуемое ставится в форме женского рода, если оно стоит после собственного имени: Автор Н. Петрова предложила редакции увлекательные заметки. Диссертант Иванова изложила интересные наблюдения;
3. Сказуемое может быть поставлено в женском роде, если его форма является единственным показателем того, что речь идет о женщине, а пишущему важно это подчеркнуть: Автор – штурман авиационного женского полка ночных бомбардировщиков – посвятила свою повесть памяти боевых подруг.

НЕБОЛЬШОЕ
(слитно)
Только Она.

А вы сделайте так, чтобы вообще не пришлось употреблять местоимения. По словам врача... На приеме у врача выяснилось, что... И повествование вести в настоящем времени. Врач берет ручку и выписывает рецепт...
Если везде будет "он" и "врач сказал", "врач сделал", а в конце врач окажется женщиной - будет такое себе.

Не будет. Если в тексте ранее нигде не указывалось и не подразумевалось что это девушка.

Она доктор

Доктор - он или по имени

Это общий род. Есть такие слова общего рода. Обычно совпадают с мужским, хотя в русском сначала заимствуются в женском — "гошпиталь", появилась при Петре в ж. р., потом перешла в м. р. Именно поэтому Запад навешивает ярлыки на всю Россию, что никакого уважения к женщине у нас нет — лапшу на уши навешивают простоватым, какими они и есть сами...

Будет ошибкой. Неважно, что это доктор. Местоимение определяется полом человека. Поэтому только "она". Больше того, глагол будет тоже согласовываться по роду в прошедшем времени - доктор пришла и пр.

Вслух - она, на бумаге - он.

Он. Или по имени и отчеству