Правильно ли говорить - " в этой связИ"?

Правильно.

я даже помню, как эту гадость вдруг ляпнул в речи Брежнев - и дикторы прямо сразу как заведенные начали втыкать ее в каждую фразу.

а когда-то дикторы подражали Хрущеву, заменяя твердую Г на южнорусскую, причем везде - и где она есть, и где ее нет.

Я бы сказала - "в связи с этим".

Оба варианта возможны.

Сочетание "в этой связи" просторечным не является (см. его фиксацию в словарях: Правильность русской речи / Под ред. С. И. Ожегова. М., 1965, с. 184; Трудности словоупотребления и варианты норм русского литературного языка / Под ред. К. С. Горбачевича. Л., 1974, с. 401; Большой толковый словарь / Под ред. С. А. Кузнецова. СПб., 1999, с. 1164). Соответствуя норме современного русского литературного языка, это устойчивое сочетание употребляется как наречие со значением «связывая со сказанным выше» и служит своеобразной формулой перехода от одной мысли к другой.

Но употребление сочетания "в этой связи" не рекомендуется вместо сочетания "в связи с этим", т. к. последнее выполняет в предложении иную функцию, а именно выражает причинную связь между частями высказывания. Иными словами, употребление слов "в этой связи" ошибочно для тех случаев, где налицо конкретное отношение причинности. Например: Наступает весна. В этой связи вспоминается такой случай из жизни... – корректно. Но: Наступает весна. В связи с этим (не в этой связи!) проблема уборки дворовых территорий становится еще более актуальной.

Важно иметь в виду, что выражение "в этой связи" характерно прежде всего для публицистики.

Правильно. Говорят так. Точнее, чаще пишут. Выражение характерного для формального стиля речи.