Времена английского языка

My mother said to me that by the end of the month the Post Office (had sent) us a bill which we (were not able) to pay because I (had been talking) on the phone for hours every day.
had been talking -Past Perf.Cont. Длительное (for hours) действие происходило до указанного момента в прошлом (by the end of the month) в течение некоторого времени ( every day).
Вариант:
My mother said to me that by the end of the month the Post Office (would have sent) us a bill which we (would not be able) to pay because I (had been talking) on the phone for hours every day.

No offense Helena, но Past Perfect здесь никак не подходит.
By the end of the month - это "к концу/на конец текущего месяца", момент в будущем, индикатор Future Perfect. Так что Ваш второй вариант будет единственно верным.

Немного пояснений.
Вот как звучала прямая речь мамы изначально:
- By the end of the month the PO *will have sent* us a bill which we *will not be able* to pay because you *have been talking* on the phone for hours every day.

В конце - Present Perfect Continuous, потому что есть уточнение/усиление "for hours" - "часами". Если б "for hours" не было, можно было бы употребить Present Simple: you talk on the phone every day, констатация факта. Но "for hours" делает упор на длительности этих самых телефонных разговоров, поэтому наш Present нужно немного растянуть во времени. Растянутый в текущем моменте времени (без привязки к прошлому) Present Simple - это Present Continuous. Но у нас в примере чел трепется по телефону каждый день уже бог знает сколько времени к текущему моменту (т. е. есть какая-то повторяемость с момента в прошлом), поэтому наш растянутый Present Continuous нужно сделать Perfect'ом, дабы показать повторяемость действия.

Ну а дальше мы трансформируем прямую речь в косвенную, обращая все использованные времена в прошедшее время, т. к. начало предложения стоит в Past Simple ("my mother said that"):
will have sent >>> would have sent
will not be able >>> would not be able
have been talking >>> had been talking