Есть ли какой-нибудь алгоритм по подстановке недостающих времён английского языка на месте пропуска в предложении?

какой алгоритм? зная, где они должны быть, не будет никаких проблем поставить нужные времена глагола.

там, что вы читали, должно было быть написано, что, например, ago, last week указывает на прошедшее время (past simple). recently, before - на настоящее совершенное время (present perfect); next week, tomorrow - на будущее время (future simple) и. т. д. плюс нюансы, типа present-а continious, который может также употребляться в виде будущего времени вместе с характерными для future simple выражениями обстоятельств... i'm going there tommorow, i'm leaving next week..

А если отсутствуют обстоятельства должен быть контекст, который бы прямо или косвенно намекал, что нужно делать.

В целом такого алгоритма не существует, конечно. Но кое-что посоветовать можно.
1. Внимательно прочитать фразу и постараться понять ее ТОЧНЫЙ смысл. Для этого обратить внимание на наличие тех или иных наречий времени (и выражений, указывающих на время): now, always, sometimes, yesterday, at six o'clock и т. п.
2. Если это упражнение - несколько предложений, связанных в рассказ, то вполне возможно, что подсказку о нужном времени вы найдете не в текущей, а в предыдущих фразах.

Еще могу посоветовать почитать какое-нибудь хорошее пособие о временах в англ. грамматике. Думаю, что для школьного экзамена вполне достаточно вот этого: Дугин "Времена английского глагола - девять уроков с профессиональным репетитором".