Когда русский язык стал таким, какой он сейчас есть?

Что вы имеете в виду? Если алфавит, то он стал таковым после революции.
А если лексический состав, то он до сих пор меняется, какие-то слова устаревают, какие-то появляются (заимствования, неологизмы и т. д)

во времена А. С. Пушкина начал становиться, окончательно сформировался в 30-е годы 20 века (было несколько реформ в алфавите и грамматике).

Он постоянно и медленно меняется - всё дальше отходит от древнерусского и его упрощённой копии - украинского.

Можно условно выделить эпохи в этом плавном развитии. Первая эпоха - это эпоха колонизации относительно прохладных московских земель беженцами из разложившейся и воюющей киевщины (12-й век). Прохладный климат стимулирует работу мозга, тренирует речевой анатомический аппарат. Произношение становится постепенно более чётким, особенно концы слов, которые освобождаются от постепенного затухания звука.

Первую эпоху можно обозначить до Ивана Грозного (16 век), то есть, до мировой эпохи Возрождения.

Вторая эпоха - до Петра, третья - до Пушкина, четвёртая - до революции, пятая - до отечественной войны, шестая - до "перестройки"..

)

Современный русский язык продукт труда призванных к царскому двору Российской империи европейских лингвистов.

Судя по причитаниям фанатов словаря Ожёгова - уже ПОСЛЕ создания этого труда.

Начиная с Пушкина.

Он постоянно меняется. Еще 30 лет назад в обиходе не было много слов, например:
мобильник, гаджет, айфон, "мыло" -(эл. почта), скайп, найт-клуб, фотомодель, котировки акций, менеджер, коллайдер и т. д.
Одновременно и исчезают из обихода слова, например: виниловая пластинка, винил, радиола, электрофон, фарцовщик, комсомолец, октябренок, трамблер, милиционер, невропатолог (ныне - невролог), комиссионка, арифмометр и т. д.