Немецкий, легкий пример. Fritz macht Überstunden damit er seiner Frau einen Brillantring (kauft/kaufen kann)

Пункты 1 и 2 сами по себе оба грамматически верны (смысл разный) , НО здесь НЕ ПРИМЕНИМЫ! Ибо "damit"-Nebensätze здесь вообще не пододойдут, так как в данной конструкции в главном и придаточном подлежащее одно и то же.

Когда и если субъект один и тот, используется "um... zu". Но у Вас опечатка в 4.("zu" перед "können").

Должно быть:

Fritz macht Überstunden, um seiner Frau einen Brilliantring kaufen zu können.
Пример с "damit":
Der Chef ließ Fritz Überstunden machen, damit er seiner Frau einen Brilliantring kaufen kann.
Иллюстрация смешная (не суть) , но может и есть такие начальники :-)

kaufen kann - СМОЧЬ купить
(так смысл точнее)

Fritz macht Überstunden, damit er seiner Frau einen Brillantring kaufen kann.
Ответ выше у Марины правильный, а ещё выше - неправильный. Предложения с damit возможны как с разными подлежащими, так и с одним и тем же подлежащим.

Вы правы, первые два варианта подходят одинаково!

Объяснение можно найти на странице "mein+deutschbuch.de-Finalsätze"

... Ein Finalsatz mit "damit" kann immer gebildet werden,auch wenn die Subjekte identisch sind. Finalsätze stehen gewöhnlich hinter dem HS, können aber auch vorgestellt werden. HS und NS werden mit einem Komma voneinander getrennt.

На этой странице, в частности, хорошо объяснено использование придаточны предложений с «um...zu“ и «damit“

...Придаточные предложения «Finalsätze“ (придаточное цели) могут использовать с «damit“ и в том случае, если СУБЪЕКТЫ (в обоих предложениях) идентичны. Обычно придаточные предложения стоят после главного, но могут быть и перед главным предложением. Отделяются друг от друга запятыми.

1. Fritz macht Überstunden, damit er seiner Frau einen Brillantring kaufen kann.
2. Fritz macht Überstunden, damit er seiner Frau einen Brillantring kauft.

Оба предложения ВЕРНЫ

Die Modalverben "möchten", "sollen" und "wollen" haben eine finale Bedeutung und können daher nicht in einem Finalsatz stehen. Sie werden gegen das Modalverb "können" eingetauscht. "Können" kann aber auch weggelassen werden, ohne das sich die finale Bedeutung ändert. (модальные глаголы "möchten", "sollen" und "wollen" ...заменяют глаголом «können“, который, однако, можно и ОПУСТИТЬ!, НЕ МЕНЯЯ при этом смысл предложения!)

3. Fritz macht Überstunden, für seine Frau einen Brillantring kaufen. - не имеет смысла
Fritz arbeitet viel, macht Überstunden und möchte für seine Frau einen Brillantring kaufen.

4. Fritz macht Überstunden, um seiner Frau einen Brillantring KAUFEN ZU KÖNNEN. (так было бы верно!
zu laufen können – неверно, т. к. после модального глагола «zu“ не используется)

Er kann laufen
Er kann in Urlaub fahren
Er braucht Geld, um in Urlaub FAHREN ZU KÖNNEN

Правильные следующие варианты:
1. damit er seiner Frau einen Brillantring kaufen kann.
2. damit er seiner Frau einen Brillantring kauft.

4. um seiner Frau einen Brillantring kaufen zu können.

ответ в каком времени должен быть?

Fritz macht Überstunden, damit er seiner Frau einen Brillantring kaufen kann

Fritz macht Überstunden damit er seiner Frau einen Brillantring kaufen kann.