Определённый артикль "the"

Потому что не бывает НЕСКОЛЬКИХ LAST week. Есть Только ОДНА последняя неделя. А THE это уточнение что именно ЭТО из нескольких.
Тоже самое и про БРИТАНСКУЮ погоду. Если б НЕСКОЛЬКО британий существовало - тогда можно было бы the употребить

Britain's - потому что название страны
(большинство их - без артикля),
last week's - потому что есть last.

1. Фразы с last в значении "прошлый" - last week, last year etc. - без артикля. Просто запомни. Как и next week, next year.
2. Названия стран - без артикля, кроме некоторых (the USA, the UK). К погоде здесь тоже не нужен артикль, потому что уже есть конкретизатор Britain's. Точно так же не нужен артикль, например, с Kate's bag или Mike's car.

В первом предложении определителем для существительного storm является week's - существительное, которое в притяжательном падеже является определителем, но которому самому нужен определитель last, который сам является определителем, которому определитель не требуется.
Определителем существительного weather является имя собственное Britain's в притяжательном падеже, которому в данном контексте определитель не требуется т. к. здесь имеется в виду просто название страны, а не какая-нибудь или та самая смысловая разновидность Британии.

Артикль (артикул, показатель категории) является определителем - частью речи, связанной с именем существительным, именем собственным, наречием или прилагательным.
При использовании с именем существительным он определяет:
- один, какой-то объект (артикль a/an) из однородного массива исчисляемых объектов: An elephant ran up to us. (К нам подбежал /какой-то/ слон);
- несколько любых объектов (отсутствие артикля) из однородного массива объектов: Girls like dressing up. (Девочки /любые/ любят наряжаться);
- один конкретный объект из неоднородного либо однородного массива (артикль the): The town was quiet. (Городок /тот, о котором речь/ был тих.);
- несколько известных однородных объектов из неоднородного массива (артикль the): The boys ran away but the girls stayed. (Мальчики /те, которые там были/ убежали, а девочки /те, которые там были/ остались.).
При использовании определителя в виде артикля, говорящий ориентируется на своё понимание:
- является ли объект (или объекты) неизвестными для собеседника (неопределённый артикль): an elephant, girls;
- или слушатель знает, о каком объекте (или объектах) идёт речь (определённый артикль): the town, the girls;
- что этот объект общеизвестен (определённый артикль): the moon.
Артикль может также использоваться в случае, когда говорящий хочет намекнуть:
- что собеседник не знает, о каком или каких объектах идёт речь (неопределённый артикль). It was a girl, you don't know her. Это была девушка, ты её не знаешь.
- либо на то, что слушатель должен знать, о каком или каких объектах ему сообщается (определённый артикль). It was the neighbour, you know who I'm talking about. Это был сосед, ты знаешь, о ком я говорю.
При использовании с существительным, неопределённый артикль имеет значение: один, один из, один какой-то, любой, каждый, некий. Определённый (определяющий) артикль соответствует в русском языке указательным местоимениям: этот, эта, это, эти, тот, та, те, то.

Определителями являются:
1) Артикли –
I shall speak to the President. Я буду говорить с президентом
He has become a teacher of Spanish. Он стал учителем испанского.
2) Притяжательные местоимения.
This is my ipad. Это мой айпэд.
3) Указательные местоимения.
This game is very boring. Эта игра очень скучная.
4) Вопросительные местоимения.
What car did you see? — Какую машину ты видел?
5) Местоимения.
You might take any magazines. Вы можете взять любые журналы.
6) Существительные в притяжательном падеже:
Carla’s father seems surprised. Отец Карлы кажется удивлён.

Индикаторы last и ago относятся к показателям прошедшего времени.

"The last week's storm caused a lot of damage."считаю верным--именно конкретная та прошлая неделя, артикль нужен
"The Britain's weather is very changeable."-артикль не нужен

Даже если бы "британских погод" было несколько, всё-равно было бы -- One of the Britain's weathers

известные словосочетания

В первом предложении нужен определённей артикль.

Резня