Русский язык. Как правильно построить предложение?

да, можно. только не «внезапными визитом», а «внезапным визитом». если это опечатка, то ладно

Нельзя, слуги в таком ироничном тоне не говорят.

Это здорово! Сидит слуга в барских покоях в кресле полулёжа, перекинув одну ногу на другую. Заходит барин. Слуга интересуется: "Ваше Высочество, чем обязан Вашему столь внезапному визиту?" Такое, наверное, возможно в странах с глубокими демократическими традициями. Например, в Англии.
Возвращается глухой лорд с прогулки. Лакей помогает ему раздеться, проговаривая тихим голосом: "Старый хрыч. Опять нализался определённо виски с какими-то леди. Такими же дряхлыми, как и сам". Лорд отвечает: "Ошибаешься, Джонни. Ходил по магазинам. Подвернулся отменный слуховой аппарат".

Знать является когда ей вздумается челядь должна раболепствовать и пылинки сдувать.
Насчет вызова тоже не перивает особо наоборот радуется причем искренне услужить хозяину.
То есть это бессмысленно как со стороны прислуги так и со стопоны господина.
Вот первая часть может быть только по отношению к равным, дескать меня твой визит не обременяет даже радует но ты то сам нафига приперся? )

Этот слуга, он что - первый день работает у их высочеств?.. Почему его "вызов" (или "визит") показался ему "внезапным"?.. И кто кому там наносит эти "вызовы" и "визиты"?..
Смысл не потеряется (он останется), но лучше вам обойтись вовсе без него - пожалейте хотя-бы своего теоретического читателя, если нас не жалко.

Чем могу быть полезен?
Слуга не должен спрашивать, почему его внезапно вызвали. На то он и слуга, чтобы служить в любое время своему господину.

"чем обязан столь внезапными визитом?" можно и звучит вполне нормально