Почему допускается два варианта написания названия языка: "церковнославянский" и "церковно-славянский"? Как правильно?

Правильно - слитно.
"Церковнославянский" (язык) - это не "церковный и славянский". Это термин, означающий не разные признаки языка, а название языка (как и старославянский, или древневерхненемецкий, например). Сложно сказать, от равноправных ли слов образовано это сложное прилагательное? Но во всяком случае его элементы не обозначают цвета, не пришли из дефисного существительного, да и союз "и" между двумя основами ставить было бы некорректно.
Именно так это слово пишется в большинстве авторитетных ресурсов, например, Грамота.ру.
Возможно те, кто пишут через дефис, делают это по аналогии с выражением "церковно-приходская школа". Там этот дефис к месту, опять же, согласно правилам.

Правильно - "церковно-славянский".
"Церковно-славянский" (язык) - это не "церковнославянский" (язык). Этот термин означает разные признаки языка, а не его название (как старославянский, или древневерхненемецкий, например). Сложно сказать, от равноправных слов образовано это сложное прилагательное, или нет. Но во всяком случае его элементы не обозначают смешение, не пришли из одного существительного, да и союз "и" между двумя основами ставить было бы несерьезно.
"Церковнославянский" - именно так этот термин пишется на большинстве из сомнительных ресурсов, например - на "Грамота".ру. Трудно сказать - зачем..
Возможно те, кто так пишет, делают это по аналогии с выражениями: "церковноприходский", "церковнослужитель" и т.п., где дефис не к месту, опять-же - согласно правилам.