Вытру или протру?

Поверхность протирают, что-то пролитое вытирают.
PS. В вашем случае, помытые руки под краном вытирают (вытирают воду с рук). А влажной салфеткой руки протирают.

Слово "вытру" имеет негативный оттенок и означает "удаление ненужного".
Слово "протру" нейтрально.

Это как разница между "выбросить сеть" и "пробросить сеть"

Во-первых, у них разные дополнения. Можно сказать "Вытереть пыль со стола", но нельзя сказать "протереть пыль со стола", нужно сказать "протереть стол". У "вытереть" дополнением является то, что удаляете, а у протереть - то, откуда удаляете.
Во-вторых, иногда "протереть" может означать более тщательное удаление грязи и пр., чем "вытереть", но это не всегда.

Можно протереть, но так ничего и не вытереть, вытереть - всегда окончательное действие, а протирать можно сколь угодно, пока не надоест. Чтобы совсем стало ясно, есть пример: пролечить и вылечить. Или совсем для непонятливых - проиграть и выиграть.

Это всё "мудрствование лукавое". Ответ "правильно - неправильно" дают ТОЛЬКО словари; если в них закреплено какое-либо значение, значит, спорить не о чем.
Итак:
"Значение слова «вытереть»
ВЫ́ТЕРЕТЬ 1. Обтирая, сделать сухим, чистым. Вытереть руки. (Малый академический словарь, МАС)"

Словарь Ожегова
ВЫТЕРЕТЬ
1. кого-что. Потерев или обтирая, сделать сухим, чистым; удалить грязное, мокрое. В. РУКИ. В. стол. В. посуду. В. пыль со стола.

Кроме этого, такое же значение с примером "вытереть руки" дают и другие словари.
https://udarenieru.ru/index.php?word=on&mas_word=%D0%B2%D1%8B%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D1%8C