В каких веках жили: Дон Кихот, Онегин, Гамлет, Ромео и Джульетта, Отелло и Дездемона, Чичиков?

Онегин и Чичиков - 19 век. Дон Кихот - 16 век ("не так давно", - пишет Сервантес на рубеже 16 и 17 веков) .
Первый литературный памятник, в котором рассказывается сага о мести Амлета, принадлежал перу средневекового датского летописца Саксона
Грамматика (1150-1220). В своей "Истории датчан", написанной около 1200 года на латинском языке, он сообщает, что история эта произошла еще в языческие
времена, то есть до 827 года, когда, в Дании было введено христианство. См. http: // shakespeare.ouc.ru/gamlet-ru.html Однако у самого Шекспира не указано время действия. Психологически эта история может произойти и сейчас - в других интерьерах и в других костюмах, не случайно она так популярна в репертуаре мирового театра.
Пьеса "Ромео и Джульетта" основана на новелле итальянского писателя XVI века Банделло, но сюжет, лёгший в основу обоих произведений, гораздо более древний: он разработан ещё у Овидия в истории о Пираме и Тисбе. Тоже вневременной сюжет, о чем говорит нам и повесть Г. Щербаковой "Вам и не снилось... "
Реальный прототип литературной трагедии, итальянец по имен Маурицио Отелло, командовал венецианскими войсками на Кипре с 1505 по 1508 годы и потерял там свою жену при крайне подозрительных обстоятельствах. Но это только прототип. О времени действия у Шекспира ничего не сказано.

Недаром в спектаклях и экранизациях шекспировских пьес показаны самые разные эпохи, костюмы и грим, вплоть до современных. Есть "Гамлет" в стиле раннего средневековья, а есть в свитерах, пиджаках, военных мундирах и пр. - 19 - 20 век!
(Это не ответ, а коммент к прекрасному ответу Натальи)