Ходжа Насреддин. Правильно ли его некоторые называют муллой, говоря мулла Ходжа Насреддин? Был ли он муллой?

Был.

Мулла (молла) (араб. المُلَّا‎‎ аль-муллаа, mawlá/; перс. ملّا, тур. molla) имеет несколько значений. У шиитов мулла - лидер религиозной общины, теолог, специалист в толковании вопросов веры и права (у суннитов эти функции выполняет улема) . В остальном исламском мире в более общем значении, как уважительный титул, может иметь значения: «учитель» , «помощник» , «владелец» , «защитник» .

В восточных языках существует несколько различных вариантов имени Насреддина, все они сводятся к трём главным:
Ходжа Насреддин (с вариациями написания имени «Насреддин») ,
Мулла (Молла) Насреддин,
Афанди (эфенди) (Средняя Азия - в особенности у таджиков, узбеков и уйгуров) .

Мулла - это духовное звание, но иногда употребляется и по отношению к людям, не явяющимся служителями культа, а просто знатокам Корана и религиозных обрядов. Приставка "молла" перед именем Насреддина - это знак уважения. Более правильно говорить "ходжа", но и это обращение условно - ведь так можно называть людей, совершивших паломничество (хадж) в Мекку, а мы не знаем, делал ли это Ходжа Насреддин. Так что в данном случае "ходжа", как и "молла" - просто почтительное обращение к мудрому, ученому, достойному и праведному человеку, а не точное указание на его статус.

По книге Соловьева он был простым бродягой

Он не был муллой. Дервиш, бродяга, он был чист душой, но не придерживался корана.