Чем современная авторская песня близка народной песне ?

Мой ответ - это ответ барда и фольклориста в одном лице.
Прежде всего, хочу сказать, что авторская песня жива и сейчас, и постоянно появляются новые талантливые авторы. Но на неё прошла мода, поэтому эти авторы не так известны, как барды 1950-1980-х годов.
Второе: Вы зря будете сопоставлять песни бардов с народными исключительно по тематике или манере подачи мысли и чувства. И песни бардов, и народные песни очень различны и бывают всякими. Какая-нибудь песня про Ланцова совсем не отличается интимностью или задушевностью, в ней нет "выкладывания своей души или мыслей", но это самая настоящая народная песня, причём довольно популярная на рубеже 19-20 веков. И таких песен немало, уверяю Вас! То же самое можно сказать и про песни бардов. И - с другой стороны - немало эстрадных композиторов (например, Мокроусов или Соловьёв-Седой) и поэтов (например, Н. Доризо) , которые писали очень искренние задушевные песни, которые были при этом именно эстрадными песнями.
Общее же у народных песен с песнями бардов то, что они сохраняются (фольклористы говорят "бытуют") преимущественно в устной форме. Народная именно из-за этого не имеет автора, но зато известна в огромном количестве вариантов. И песню барда люди, как правило, поют друг другу, что приводит к возникновению различных (часто очень сильно отличающихся) вариантов. И даже то, что издаются поэтические сборники песен бардов или их авторские исполнения на дисках. не мешает этому процессу (можно вспомнить "Поручика Голицына", "Балладу о свечах", известную песню А. Городницкого "Чистые пруды" (но не путать её с песней, которую исполнял И. Тальков!) , "Старую солдатскую песню" Б. Окуджавы и многие другие песни бардов, ушедшие "в народ", которые имеют даже лишние куплеты, не написанные самими авторами!) . Вот их главная родственная черта!

наверное, задушевностью, интпимностью...

Тем, что человек выкладывает в песне свою душу, мысли.

что видят и чувствуют - о том и поют