Что дали варяги восточным славянам??

Имя. Поскольку варяжское племя называлось "русь". Отсюда пошло и название государства и народа, собравшего воедино славянские племена.

а варяги какие славяне? Западные?

Отвечаю.
Варяги - западные славяне. Жили на побережье Балтийского моря, на Северо-Востоке современной Германии (Росток, Макленбург, Фризия). Остатки тех славян до сих пор живут в Германии (лужичане, немецкие сербы). Отличались воинственностью (еще бы, в таком то окружении). На острове Рюген (Руян, в славянской транскрипции) находилась "Мекка" северных славян - священное место и храмы. Считается, что Руян - это и есть тот волшебный остров Буян, так часто упоминающийся в русских сказках и легендах ("На море-окияне, на острове Буяне, стоит бел-горюч камень ...").

В результате постоянного давления и крестовых походов немцев и датчан западные славяне в IX-XI вв. были частью уничтожены, частью ассимилированы. Информация о этих славянах и их покорении имеется в немецких летописях, в частности. Кстати, помните ли вы о средневековом Тевтонском ордене? Помните идеи "Дранг нах Остен", "покорение славян", "Барбаросса" с которыми все еще носились немцы даже в середине 20-го века? Все это оттуда растет!
Некоторая часть переселилась\была вытеснена в Восточную Европу (место здесь тогда хватало) поближе к родственным племенам. В основном на северо-запад Русской равнины. И основали совместно с осевшими ранее на этой территории северянами, кривичами и др. племенами некоторые древнейшие города, например, Старую Ладогу и т.д.
Стоит упомянуть также, что по некоторым летописным (письменным) легендам вятичи (одно из нескольких основных восточно-славянских племен, образовавших русский народ) и их первый легендарный князь Вятко пришли сюда с территории совр. Польши, т.е. с Запада.

Когда возникла необходимость назначения общего вождя\объединения племен, чтобы не было никому обидно из местных, выбрали главным не местного, но своего. Дальнего родственника. )

ничего существенного. по норманнской теории варяги якобы гос-во основали у славян. но это не так. просто восточное славянство уже было на пороге этого само. и не важно кто там стал князем- из местных или пришлых ( Ольга и кто ещё)

Ничего . Карелию мы у них сами отобрали .