Что это за слово "Пичужечка" ? В интернете не могу найти, в книге идет сравнение с парнем. Хотелось бы убедиться)

Совершенно правы предыдущие, пичужечка - птичка. Но добавлю, что речь идёт о письме Карамзина к Дмитриеву (от 22 июня 1793 г) по поводу употребления слов "птичка, пичужечка, пернатая" в одном из стихотворений Дмитриева.

«Пичужечки не переменяй, ради бога не переменяй! Имя пичужечка для меня отменно приятно потому, что я слыхал его в чистом поле от добрых поселян. Оно возбуждает в душе нашей две любезные идеи: о свободе и сельской простоте. К тону басни твоей нельзя прибрать лучшего слова. Птичка, почти всегда напоминает клетку, следственно неволю. Пернатая есть нечто весьма неопределенное; слыша это слово ты еще не знаешь, о чем говорится: о страусе или колибри. "
Что касается сравнения со словом "парень", то читайте далее по ссылке, там есть ответ. Карамзин советует Дмитриеву употребить другое слово.
"При втором слове является моим мыслям дебелый мужик, который чешется неблагопристойным образом или утирает рукавом мокрые усы свои, говоря: ай парень! что за квас! Надобно признаться, что тут нет ничего интересного для души нашей! Итак, любезный мой И. нельзя ли вместо парня употребить другое слово?»

Там на заре пичужка пела... В. А. Жуковский,
...и поют пичужки в стаях: "Здравствуй, зимушка - зима! " Г. Ладонщикова
Устали птахи малые, голодные, усталые... С. Есенин

Пичуга, пичужка, птаха, птичка - красивое русское слово, которое из-за незнания и невежества пытаются, скажем мягко, извратить его смысл.

что у парня есть пичужечка?

Пичуга - пташка, птичка маленькая.