Жанр письма в литературе еще существует?

В литературе этот жанр останется. Хотя бы потому, что много знаменитых произведений используют письма. Есть даже романы в письмах, например "Португальские письма", "Персидские письма"
И до сих пор есть что-то похожее, хотя и изменившееся с современными реалиями - романы, где используется электронная переписка. Например, известное произведение Пелевина - "Шлем ужаса".
Ну и эпистолярный жанр используется как что-то из прошлого, своеобразное ретро, как например, здесь - http://shhe.ru/pisma.php
Письма получились очень интересными и необычными.

Роман М. Шишкина "Письмовник" был награждён премией "Большая книга" Роман состоит только из писем. Ни одного авторского слова, ни одной фразы комментариев. Только письма. Его и Её. На мой взгляд, из всего творчества М. Шишкина именно этот роман и есть лучшее, остальное.... уже не то.

Письма, писал Герцен, «больше, чем воспоминания; это само прошедшее, задержанное и нетленное. На них запеклась кровь событий».
Русские писатели XIX века (также и ранее, со времен протопопа Аввакума и Ивана Грозного) использовали эпистолярный жанр, чтобы раскрыть внутренний мир своих героев, показать их лучшие стороны (см. письма Онегина и Татьяны у Пушкина, переписку героев Достоевского, Гончарова, Толстого, Чехова и др.). Письма в текстах использовались и для того, чтобы герой или героиня могли открыть свои чувства — ведь не каждый человек может сказать правду в лицо, а через письмо это сделать было проще.
Современные писатели практически не используют эпистолярный жанр, так как и в реальной, повседневной жизни он применяется редко. Компьютеризация и интернет привели к появлению новых видов литературы, основанных на электронной переписке и компьютерных технологиях. В наши дни растёт отчуждение и равнодушие между людьми, и это, безусловно, одна из важных проблем современного общества. Существует и ещё одна причина — лингвистическая: письмо как образец эпистолярного жанра умирает в эпоху телефона и интернета. И поэтому проблема эпистолярного жанра решается сегодня, скорее всего, лишь в жанре публицистики, на международном и российском уровне. К примеру, проходят литературные конкурсы на лучшее письмо (в номинациях: «Письмо президенту», «Письмо другу», «Письмо учителю» и др.).
PS. В "Комсомольской правде" был опрос читателей о любимых поэтах; одно из первых мест занял К. Бальмонт (вслед за Пастернаком, кажется). Одна из читательниц так восприняла его стихи, напрямую обратившись к автору: "Костян, напЕши мне на аську - я тИбе отдамся..."
См. также: http://www.hintfox.com/article/znachenie-epistoljarnogo-zhanra-v-rysskoj-literatyre.html

Прогресс не стоит на месте возможно этот жанр видоизменится в нечто отвечающее современным понятиям переписки.

https://www.youtube.com/watch?v=IA14N_Fd02E - и этим все сказано....

Жанр СМС.

Это называется эпистолярный стиль. И да - он встречается время от времени