Как раньше отправляли письма с помощью птиц?

Увозили заранее птиц с привычного им места. Те возвращались обратно.
Даже в период 1-ой Мировой такой способ ещё использовался, даже военными. Были такие фургоны с голубятнями.
Т. е. некоторое время приучали голубей жить в одном месте, а потом увозили в закрытых ящиках-корзинах. И потом выпускали с привязанным к ним письмом.

Хочу добавить к двум совершенно правильным ответам, что голубиной почтой перестали пользоваться значительно позже, чем в Первую Мировую. В популярном во времена моего детства отечественном фильме "Застава в горах" (1953 год) пограничный наряд из двух бойцов отправляется в обход верхом и берет с собой голубя в специальной кожаной коробке. Наряд, ясное дело, попадает в завал, из которого не может выбраться, и посылает на заставу голубя с запиской. Начальник заставы, когда его люди не вернулись вовремя из обхода, то и дело ходит на голубятню и спрашивает специально приставленного к ней солдата, не прилетел ли голубь с известиями. Голубь, кстати, так и не прилетел, его по дороге ястреб схватил.
Но из этого следует, что в советских погранвойсках голуби были одним из официальных средств связи вплоть до 1953 года.

Голубь всегда возвращается домой.
Путешественники брали с собой голубей.
Потом писали письмо, привязывали к голубю и отпускали.
Голубь летел домой.
Дома снимали письмо и читали.
Обратной связи не было.

Насилием!
Забирали из гнезда, сажали в клетку и увозили. А потом подвешивали на шею или к лапе рулончик бумаги с посланием и отпускали. Птица возвращалась в гнездо и заодно приносила весть.