Может ли эпиграфом служить стихотворное четверостишие от автора

Может

Джек Вэнс в пенталогии "Властители зла" использует в качестве эпиграфов цитаты из несуществующих произведений: научных и философских трактатов, энциклопедических справочников и т.д. Конечно, им же и сочиненные. Это последовательный литературный прием, выдержанный на протяжении всего цикла.

да может. Но нежелательно. Цитировтаь самого себя - признак дурного тона

Нет.

То есть, во всей мировой литературе не нашлось четырёх строк, отвечающих гениальному замыслу автора, и пришлось писать самому?
Выглядит это всегда несколько смешно и говорит, скорее, о не начитанности автора, чем о каком-то особом замысле.
"Наше Всё", правда, иногда так баловалось. Написал три строки в качестве эпиграфа к 11-й главе "Капитанской дочки", приписал Сумарокову.
А в вашем случае что-то не понял. У вас есть стихотворение, к которому понадобился эпиграф-катрен? Зачем? Сама по себе такая необходимость это уже признак некоторой неудачи стихотворения. Ну или хотя бы найдите у другого автора нужные строки. Потому что автоподтверждение собственных текстов выглядит всегда некомильфо - как положительная характеристика на себя, написанная самим же.

Да, не может. Не красиво.

Я так думаю, можно, но не нужно. Можно это делать, если ваше стихотворение уже известно.
Выражаясь современным языком, эпиграф - это слоган. Он отражает суть всего произведения, и он на слуху у всех. Я думаю, люди с большей охотой будут читать произведение, эпиграфом к которому будет служить известная цитата.
Возьмём, к примеру, последнее из прочитанного мною. Леонид Соловьёв: "Повесть о Ходже Насреддине", каждая книга разделена на 3 части, и к каждой из частей автор приписал эпиграфы из разных источников. Они звучные, ёмкие, и, наверное, более-менее известны тем, кто берёт в руки такую книгу.

Да.