Я из Невеля (Россия) хочу съездить на пару дней в Полоцк (Белоруссия) на машине, а у меня европейское гражданство и мног

Отсутствие погранконтроля вовсе не означает право граждан третьих стран свободно пересекать границу.
Например, в СССР были города, закрытые для иностранцев: так, любой гражданин СССР мог, даже не предъявляя паспорта (в те времена) , купить билет на поезд и поехать в Горький (ныне Нижний Новгород) . Если же там поймают иностранца - у него будут очень крупные неприятности (и, вероятно, больше он никогда не получит въездную визу в СССР) .
Вас, с Вашими эстонскими номерами, остановит первый же ГАИшник.. . оно Вам надо?
Так что - выясняйте, единое ли у России и Беларуси визовое пространство, то есть дает ли российская виза право законного пребывания в Беларуси.
Если нет, а Вы - бывший советский человек с соответствующим уровнем знания русского языка, то можете рискнуть съездить в Полоцк поездом. Я там бывал после распада СССР неоднократно (но без ночёвки) , и у меня паспорт не спрашивали ни разу. Полоцк - это ведь совсем рядом с Невелем: около 100 км - вполне можно возвращаться ночевать в Невель.

Единое визовое пространство России и Белоруссии пока не создано. Поэтому гражданам ЕС нужны отдельные визы в эти страны. Alex Mishin всё правильно написал, я лишь дополнил его ответ. А Евгений, видимо, не в теме, не понимает функцию таможни и ее отличие от пограничного контроля.
Приведу аналогию: например, человек имеет эстонскую национальную визу. Она не дает право этому человеку находиться в других шенгенских странах, несмотря на отсутствие пограничного контроля (и то, контроль иногда случается: например, латвийские пограничники на ППК Meitene иногда проверяют въезжающих со стороны литовского Шяуляя) . Так что, если этого человека поймают на территории другого государства, у него будут неприятности.

Так таможню убрали между россией и белоруссией. Новости посмотрите.