Ленинградский вокзал - Шереметьево

Аэроэкспресс в Шереметьево уже давно ходит не с Савёловского, а с Белорусского вокзала!
На метро по кольцевой линии минут за 15.
Недалеко от выхода метро Белорусская (прямо напротив, как будете выходить в город) - недорогая и достаточно приличная столовая (угловой дом на Грузинском валу) .
Что такое "провести время", я не вполне понимаю. С Комсомольской пл. (перед Ленинградским вокзалом или чуть левее, если стоять к вокзалу спиной) регулярно отправляются обзорные экскурсии по городу.

Аэроэкспресс в Шереметьево ходит с Савеловского вокзала
поесть недорого. . ну смотря что для Вас недорого, и что Вы хотите поесть
из фастфуда - Крошка-картошка, курица гриль и банальная шаурма
Из кафе-ресторанов - Елки-Палки (взять шведский стол и обожраться рублей на 500)
Около Савеловской, на компьютерном рынке есть вьетнамское кафе "Ханой". Обед в азиатском стиле обойдется рублей в 300-400 максимум, если только второе и чай, то и в 150-160 уложитесь
Где время провести? опять же зависит от интересов.. . в такую погоду походите по музеям, например, или на Поклонную гору можно съездить
По Арбату погулять

Садитесь на Ленинградском вокзале на электричку до платформы "Планерное", далее выходите на Ленинградское шоссе, переходите по подземному переходу на другую сторону и садитесь на автобус №817. Пообедать можете на Комсомольской площади в универмаге "Московский" есть ресторанный дворик (недорого) и еда там на любой вкус.