Как перевести сайт в мобильную версию?

Про cms не знаю. Только про ручную верстку могу сказать. Сейчас существует целое направление "Адаптивный дизайн". Прописываются медиазапросы для тех элементов, которые должны изменяться в зависимости от размера экрана у посетителя сайта.

То есть указывается в стилях (css): media screen (то есть устройство с экраном) такого-то размера - загружать такую-то картинку (отдельную маленькую/среднюю/большую), отображать такие-то шрифты (заголовки/параграфы).

Можно для маленьких экранов не отображать графики, чтобы не тратить впустую трафик с мобильных устройств посетителей.

Это и называется адаптивной версткой. Не так уж сложно на практике. Главное с синтаксисом разобраться.

Специальные CMS не нужны - например, для того же Wordpress существуют плагины, реализующие отдельную тему для мобильной версии.

Но да, куда лучше сразу закладывать адаптивный дизайн. И лучше сразу смотреть в сторону флексбоксов - они очень сильно упрощают создание адаптивной вёрстки.

Вручную

либо вручную, либо с помощью адаптивной верстки

Лучше обратится к тем, кто профессионально этим занимается. Я пыталась сама адаптировать сайт, но у меня ничего путевого не вышло. Видимо, сказалось отсутствие опыта. Я только начинаю раскручивать свой интернет-магазин, но сразу поняла, что большинство людей сейчас пользуются мобильными телефонами и планшетами для поиска товаров и совершения покупок. Так вот, ребята из Mоbilе Version (http://www.mobile-version.ru/) помогли мне решить проблему в кратчайшие сроки - через два дня мой сайт стал вполне конкурентноспособным. А, учитывая скидку, мои затраты на их услуги окупились за первые сутки))