Стоит ли заботиться о поддержке сайта в старых версиях браузеров?

вот список тех браузеров, которые обязательно нужно проверять:

Google Chrome, причём он является бесспорным лидером на данный момент. Поэтому в нём сайты должны выглядеть идеально.
Последняя версия Firefox, на втором месте, под ним также всё должно быть отлично.
Последняя версия Opera.
IE9
IE8, которым пользуются 3.7%. Немного, но это та же история, что с IE6 год назад, поэтому адаптировать под этот браузер нужно. К счастью, данный браузер уже практически не имеет проблем по сравнению с предыдущими версиями. Поэтому если Вы вёрстку сделали хорошо, то, вполне вероятно, вообще ничего не придётся менять, либо добавить буквально 2-3 свойства дополнительно.
Есть ещё Safari, рекомендую проверять и на нём. Но стоит отметить, что если в Chrome, Opera и Firefox всё хорошо, то у меня ещё ни разу не было никаких отклонений в этом браузере. Поэтому проверка в нём - дело необязательное.

Что касается будущего, то я очень надеюсь, что скоро станет возможно использовать CSS3. К сожалению, на сегодняшний день 30-40% пользователей обладают браузерами, которые поддерживают лишь малую часть свойств из CSS3. И абсолютно ни один браузер не поддерживает всех свойств. Когда же поддержка будет хотя бы основных новых свойств во всех используемых браузерах, тогда задача хорошего верстальщика сразу упростится. А плохой уже и так давно использует CSS3 на полную катушку.

думаю, что не стоит поддерживать старые версии браузеров, ведь сейчас на смену IE пришел Edge, который поддерживает все современные функции сайтов

>Стоит ли заботиться о поддержке сайта в старых версиях браузеров?

Не стоит.

>И как обстоит дело с префиксами сейчас? Я не пойму, нужно ли их использовать или нет.

Не нужно. Нужно использовать autoprefixer

Я вот лично не поддерживаю IE, Safari для Windows, а во всех остальных браузерах, если что, можно попросить пользователя обновиться.

Я тоже пишу без -wik- -moz-, браузера все и так понимают. На старых версиях IE сидят сотые, тысячные доли процентов хостов. Если хочешь позаботится о их удобстве, то можешь заморочится