Возможно ли при потере домена, дальнейшей работы сайта?

Если хостинг продолжает работать, то почему бы и нет. Записи днс не сразу обновляются. Еще некоторое время будет переходить

Вариантов не так много:
1) Бесплатный домен второго уровня на каком-нибудь сервисе (domen.org.ru например) - таких доменов море - хоть и смысла в них мало

2) Оплатили домен на несколько лет - насчет подробностей не в курсе - продляю свои ежегодно - но на несколько лет тоже можно оплатить - у меня у регистратора можно продлить на 7 лет например, у кого то возможно еще больше

3) На счете регистратора на момент того как вы "забыли" про домен - была какая то сумма, и было включено автопродление домена. И этой суммы вот уже много лет хватает на ежегодное продление.

Касательно самого домена - если домен в зоне .ru - сумма незначительная - сейчас продление домена .ru на год стоит 200-300р - т. е. 10000р хватило бы на десятки лет.
Но не стоит забывать что и хостинг как правило платная услуга - притом стоит существенно дороже.

4) Фантастический (но не невозможный) вариант - за вас кто-то платит, притом сам скорее всего об этом не знает, или не помнит.

5) Совсем фантастический (и невозможный) - глобальный сбой сошелся на вашем сайте и он хостится бесплатно уже 12 лет :) И домен не пропадает :)

Какие решения есть - если домен (и сайт) вам все таки нужен

1) Узнайте где хостится ваш сайт, где зарегистрирован домен - и сколько осталось до конца регистрации домена

2) Свяжитесь с регистратором и восстанавливайте доступы к нему

3) Если восстановить доступ не получится - ждите окончания домена + 1 месяц (эта информация легко доступна) - и регистрируйте заново. Попутно скопировав сайт

или

4) наймите для этого профессионалов

Пока работает, регай другой домен и на сайте предупреждение делай что сайт переезжает. Если ПЦА конечно есть.