Домашние задания: Математика
Задача по математике.
В клетках прямоугольника 5 × 9 стоят 33 фишки. Ход состоит в том, что все фишки одновременно сдвигаются так, чтобы каждая фишка оказалась на клетке, соседней с исходной. При этом запрещается ставить две фишки на одну клетку (в том числе и в начальной позиции). Кроме того, если какая-то фишка передвинулась по горизонтали, то в следующий ход она должна передвигаться по вертикали, и наоборот. Докажите, что по этим правилам невозможно сделать подряд 100 ходов
Введём координаты клеток. Номер строки (от 1 до 5) - номер столбца (от 1 до 9). Если мы делаем ход по правилам, то в первый ход меняется чётность одной координаты, во второй - чётность другой координаты, в третий - снова чётность первой и в четвёртый - снова чётность второй.
То есть если в какой-то момент координаты фишки были обе нечётные, то дальше они будут меняться так, если первый ход меняет номер столбца, то есть ход по горизонтали:
1: (н, н) -> (н, ч) -> (ч, ч) -> (ч, н) -> (н, н)
или так, если первый ход меняет номер строки, то есть ход по вертикали:
2: (н, н) -> (ч, н) -> (ч, ч) -> (н, ч) -> (н, н)
И если фишка в начале стояла на каких-то других координатах (не обе нечётные, в смысле), то у неё по-прежнему будет одна из этих схем, только начинаться она будет с другого места.
Например, если фишка изначально стояла в строке 6 (ч), столбце 3 (н) и первый ход был по вертикали (меняется чётность строки), то будет так:
(ч, н) -> (н, н) -> (н, ч) -> (ч, ч) -> (ч, н)
Это та же самая схема 1, только начинается она не с (н, н), а с (ч, н).
А если бы первый ход был по горизонтали (меняется чётность столбца), то будет так:
(ч, н) -> (ч, ч) -> (н, ч) -> (н, н) -> (ч, н)
Это схема 2, только начинается она не с (н, н), а с (ч, н).
И так будет для любой фишки. Чётность номера строки и номера столбца меняется по очереди и за 4 хода возвращается к той, которая была в самом начале.
Значит, у любой фишки ровно один раз в четыре хода обе координаты становятся чётными. У кого-то на первом ходу из каждых четырёх, у кого-то на втором, у кого-то на третьем, у кого-то на четвёртом.
Но у нас только 8 клеток, у которых обе координаты чётные. (2,2), (2,4), (2, 6), (2, 8) - вторая строка и (4,2), (4,4), (4, 6), (4, 8) - четвёртая строка.
Даже если все они каждый ход заняты, там за 4 хода поместится не больше 32 фишек, а у нас их 33.
Значит, мы не сможем по правилам сделать даже 4 хода - и уж подавно не сможем сделать 100 ходов.
Вроде бы эта задача тут уже была совсем недавно, и там было правильное решение.
То есть если в какой-то момент координаты фишки были обе нечётные, то дальше они будут меняться так, если первый ход меняет номер столбца, то есть ход по горизонтали:
1: (н, н) -> (н, ч) -> (ч, ч) -> (ч, н) -> (н, н)
или так, если первый ход меняет номер строки, то есть ход по вертикали:
2: (н, н) -> (ч, н) -> (ч, ч) -> (н, ч) -> (н, н)
И если фишка в начале стояла на каких-то других координатах (не обе нечётные, в смысле), то у неё по-прежнему будет одна из этих схем, только начинаться она будет с другого места.
Например, если фишка изначально стояла в строке 6 (ч), столбце 3 (н) и первый ход был по вертикали (меняется чётность строки), то будет так:
(ч, н) -> (н, н) -> (н, ч) -> (ч, ч) -> (ч, н)
Это та же самая схема 1, только начинается она не с (н, н), а с (ч, н).
А если бы первый ход был по горизонтали (меняется чётность столбца), то будет так:
(ч, н) -> (ч, ч) -> (н, ч) -> (н, н) -> (ч, н)
Это схема 2, только начинается она не с (н, н), а с (ч, н).
И так будет для любой фишки. Чётность номера строки и номера столбца меняется по очереди и за 4 хода возвращается к той, которая была в самом начале.
Значит, у любой фишки ровно один раз в четыре хода обе координаты становятся чётными. У кого-то на первом ходу из каждых четырёх, у кого-то на втором, у кого-то на третьем, у кого-то на четвёртом.
Но у нас только 8 клеток, у которых обе координаты чётные. (2,2), (2,4), (2, 6), (2, 8) - вторая строка и (4,2), (4,4), (4, 6), (4, 8) - четвёртая строка.
Даже если все они каждый ход заняты, там за 4 хода поместится не больше 32 фишек, а у нас их 33.
Значит, мы не сможем по правилам сделать даже 4 хода - и уж подавно не сможем сделать 100 ходов.
Вроде бы эта задача тут уже была совсем недавно, и там было правильное решение.
Для 32 фишек задача решаема - собираем прямоугольник 4x8, устанавливаем в правый нижний угол и двигаем его по схеме вверх-влево-вниз-вправо, а 33 фишку на данной схеме устанавливать некуда
Lidia Ursachi
88 785
Ольга Скробот
Это рассуждение совершенно не доказывает, что 33 фишки поставить нельзя. В некоторой конфигурации нельзя добавить фишку - но может быть, в другой конфигурации это получится.
сложна, я даже читать не стал
Похожие вопросы
- Задача по математике 4 класс
- Помогите решить задачу по математике,задание номер 13
- Помогите пожалуйста решить задачи по математике 6 класс,решение и если можно пояснениек действиям.
- Помоги пожалуйста решить задачу по математике
- ВПР 5 класс задача по математике
- Помогите пожалуйста решить задачи по математике 11 класса с объяснением
- Задача по математике
- Задача по математике срочно!!!!!!!
- Решите пожалуйста задачу по математике
- В футболе команда получает за победу 3 очка за ничью одно очко за поражение 0 очков... Задача по математике
Да, нашёл. Вот этот вопрос, и там правильное решение.