Задача по математике.

На доске всего 12 клеток, из них 4 угловых. Это не так сложно перебрать. Учтём, что в угол есть путь всего с двух клеток. Значит, если мы можем с какой-то клетки пойти в угол - то мы либо должны это сделать прямо сейчас, либо можем этот угол оставить как последнюю клетку (то есть посетить его с другой клетки - но тогда мы из него не сможем выйти). Но так оставлять можно только один угол, потому что только одна клетка может быть последней. Если оставленный угол уже есть, мы должны посещать остальные.
Пусть конь стоит в левом верхнем углу (сочтём эту клетку чёрной, это вообще ни на что не повлияет). У нас возможны 2 хода: на нижнюю сторону и в середину. Разберём оба
I. Нижняя сторона.
1 Б Ч Б
Б Ч Б Ч
Ч 2 Ч Б
Теперь у нас снова 2 хода - на верхнюю сторону и на правую сторону.
I-1. Верхняя сторона.
1 Б 3 Б
Б Ч Б Ч
Ч 2 Ч Б
Сейчас мы можем уйти в угол или оставить угол напоследок и уйти на левую сторону.
I-1-1. Угол.
1 Б 3 Б
Б Ч Б Ч
Ч 2 Б 4
Произвол кончился. Остальные ходы единственны.
1 8 3 6
Б 5 0 Ч
9 2 7 4
(0 - это десятый ход). Случай I-1-1 разобран.
I-1-2. Левая сторона.
1 Б 3 Б
4 Ч Б Ч
Ч 2 Ч Б
Следующий ход единственный.
1 Б 3 Б
4 Ч Б Ч
Ч 2 5 Б
В один угол мы уже не пошли - он оставлен напоследок. Значит, в другой уже должны идти
1 Б 3 6
4 Ч Б Ч
Ч 2 5 Б
Произвол кончился.
1 Б 3 6
4 7 Б Ч
Ч 2 5 8
И всё. Ходов больше нет. Случай I-1-2 разобран, значит, разобран случай I-1.
I-2 Правая сторона.
1 Б Ч Б
Б Ч Б 3
Ч 2 Ч Б
Следующий ход единственный.
1 4 Ч Б
Б Ч Б 3
Ч 2 Ч Б
Если сейчас нырнуть в угол, всё кончится почти сразу:
1 4 Ч Б
Б Ч 6 3
5 2 Ч Б
Значит, идти можно только на сторону:
1 4 Ч Б
Б Ч Б 3
Ч 2 5 Б
Теперь ходы единственные:
1 4 9 6
0 7 Б 3
Ч 2 5 8
И мы приплыли. Вариант I-2 разобран. Вариант I разобран: ход на нижнюю сторону не даст обойти всё.
II. Ход в середину.
1 Б Ч Б
Б Ч 2 Ч
Ч Б Ч Б
Следующие ходы единственны:
1 4 Ч Б
Б Ч 2 Ч
3 Б Ч Б
Теперь снова развилка - нырнуть вниз или вправо.
II-1. Вниз.
1 4 Ч Б
Б Ч 2 Ч
3 Б 5 Б
И снова развилка - в угол или на левую сторону.
II-1-1. Угол.
1 4 Ч 6
Б Ч 2 Ч
3 Б 5 Б
Теперь несколько ходов единственны.
1 4 9 6
Б 7 2 Ч
3 Б 5 8
И уже видно, что ничего не выйдет. Если идём на левую сторону, затыкаемся сразу. Если на нижнюю - то потом на правую, а на левую уже не попасть. Случай II-1-1 разобран.
II-1-2. Угол оставляем напоследок, идём на левую сторону
1 4 Ч Б
6 Ч 2 Ч
3 Б 5 Б
Больше углов оставлять нельзя, поэтому ходы единственны:
1 4 7 0
6 9 2 Ч
3 Б 5 8
Приплыли. II-1-2 разобран, II-1 разобран.
II-2. Вправо.
1 4 Ч Б
Б Ч 2 5
3 Б Ч Б
Следующие ходы единственны:
1 4 7 Б
Б Ч 2 5
3 6 Ч Б
Последняя развилка - в угол или на сторону.
II-2-1. Угол
1 4 7 10
12 9 2 5
3 6 11 8
Первый вариант обхода.
II-2-2. Сторона.
1 4 7 10
8 11 2 5
3 6 9 12
Второй вариант обхода.

Всё. Перебор окончен. Существенно разных обходов получилось два. Первые 7 ходов в них одинаковы.

Одним единственным. Но как это доказать? Математически.

__3__6__9_12

__8_11__2__5

__1__4__7_10

**********"

Если первый ход другой, то возникает тупиковая ситуация

_11__2______

_______12_Х

__1_10______

Нужно занять поле Х либо ходом 3, либо 9, но это тупик

Ходы 12-11-10 - вынужденные

_____________

Вообще, правило заполнения доски ходом коня простое - нужно ставить на поле, с которого меньше вариантов хрдов. Но как доказать, какие доски можно заполнить, а какие нет, я пока не придумал