Задача по математике

Нам известны 5 правил перехода: А -> Ё, И -> Э, У -> И, Э -> О, О -> Я.
А -> Ё особняком. Из остальных правил вытягивается цепочка: У -> И -> Э -> О -> Я -> ...

Любая цепочка в конце концов замкнётся. И замкнуться она может только с конца, в середину никто не влезет. Если в цепочке N элементов, то шагнув на 1 в одну сторону или на N-1 в другую, мы получим один и тот же элемент.

Заменим буквы из цепочки номерами:
Ё3245 - после первого шага.
А1Ю23 - в конце.
Вторая буква в слове в цепочке идёт на шаг раньше третьей. Значит, она и в конце идёт на шаг раньше третьей. Значит, Ю тоже в цепочке, причём Ю -> У. Вся цепочка приобретает вид:
Ю -> У -> И -> Э -> О -> Я -> …
0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> …
Будем называть её цепочка Ю-Я.
Слово в конце принимает вид:
А1023
От буквы 3 в цепочке мы перешли к букве 1, от буквы 2 - к букве 0, от буквы 4 - к букве 2, от буквы 5 - к букве 3. Очевидно, после первого хода мы сделали ходов на 2 меньше, чем элементов в цепочке Ю-Я - ещё через 2 хода мы бы завершили её целиком.

Проверим, может ли туда входить А. Если входит А, то и Ё тоже входит, и номер Ё на 1 больше, чем номер А. С другой стороны, номер Ё должен быть на 2 меньше, чем номер А (в последнем слове все буквы из цепочки уменьшили номер на 2) - но это не может быть верным одновременно, потому что в цепочке не 3 буквы, а минимум 6. Значит, А в цепочку не входит.
Значит, и Ё в цепочку не входит тоже - если бы Ё входила, то входила бы и А. Значит, А и Ё входят в другую цепочку (А-Ё)- и в ней либо 2, либо 3, либо 4 буквы (больше никак, потому что 6 букв уже заняты в цепочке Ю-Я).

1. Если А -> Ё -> А (в цепочке А-Ё 2 буквы), то после первого шага до последнего количество шагов нечётно (после первого шага была Ё, в конце получилась А). Значит, в цепочке Ю-Я нечётное количество букв (их там ровно на 2 больше, чем сделанных ходов). 6 букв уже известно, другие 2 точно не там - значит, букв в цепочке Ю-Я может быть только 7. Но тогда у нас 2 буквы в цепочке А-Ё и 7 букв в цепочке Ю-Я - и остаётся 10-я буква, которая ни в ту, ни в другую цепочку не входит. Значит, она должна переходить сама в себя, а этого не может быть. Значит, случай, когда в цепочке А-Ё две буквы, невозможен.

2. Если в цепочке А-Ё 4 буквы, то цепочка Ю-Я других букв не содержит. Она известна полностью, её длина равна 6: Ю -> У -> И -> Э -> О -> Я -> Ю
Значит, было сделано 4 хода. Но длина цепочки А-Ё равна 4 - значит, за 4 хода мы пройдём её целиком и вернёмся к той же букве, с которой начали. А у нас спустя 4 хода получилась другая буква (не Ё, а А). Значит, и этот вариант невозможен.

3. Если в цепочке А-Ё 3 буквы, то остальные 7 должны быть в цепочке Ю-Я. Тогда было сделано 5 ходов. Обзовём третью букву в цепочке А-Ё знаком Б. А-Ё выглядит так: А -> Ё -> Б -> А -> Ё -> Б -> А -> Ё -> Б…
Нам везёт. Если мы начинаем с Ё, то через 5 ходов получится именно А:
Ё -> Б -> А -> Ё -> Б -> А.
Вариантов для Б у нас 2: Е и Ы. Вторая буква входит в цепочку Ю-Я. Получаем 2 варианта:
А -> Ё -> Е -> А
Ю -> У -> И -> Э -> О -> Я -> Ы -> Ю

А -> Ё -> Ы -> А
Ю -> У -> И -> Э -> О -> Я -> Е -> Ю
АУЮИЭ впервые получится ровно через 5 ходов.
У одной цепочки длина 3, у другой - 7. Значит, каждый 21 ход мы будем получать ровно такую же конфигурацию. Тогда АУЮИЭ может получиться через 5, 26, 47, 68, 89 и так далее ходов.

Капец задачки.. Что приняли составители?

12