Олимпиадная математика. ОЧЕНЬ ПРОШУ ПОМОЧЬ, ДОЛГО ДУМАЛА, НО НИЧЕГО НЕ ПОЛУЧИЛОСЬ ( ЕСЛИ МОЖНО ПОДРОБНО. ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!

Скорее всего доказательство этого утверждения строится на том, что:
- мухи равноудалены друг от друга в 3D-пространстве (надеюсь у вас речь про 3D Евклидову геометрию)
- в сферу можно вписать трехмерную фигуру с примерно одинаковыми расстояниями между вершинами под названием "октаэдр" (Octahedron), которая состоит из 8 вершин

Путем каких-нибудь рассуждений и математических расчетов вы скорее всего выясните, что длина ребра октаэдра скорее всего составит "корень из трех".
- вспомнив, что в задаче мух 9 штук, а не 8, вы сделаете вывод, что девятая муха обязательно будет с кем-то вблизи.

Мне решать влом, я вам лишь показываю общее направление движения вашей мысли. Олимпиаду вы решаете, а не я.

8 мух возьми. Они расположатся в вершинах куба, вписанного в сферу. Найди сторону этого куба. А теперь добавь девятую. Очевидно, что при добавлении мух расстояние не может УМЕНЬШИТСЯ.

Рассмотрите предельный случай, когда все мухи максимально удалены друг от друга. При этом они расположатся симметрично на границе области, то есть - на сфере. Далее чистая геометрия. Хотя... Расположить в 3D-пространстве симметрично 9 мух - задача не вполне тривиальная. Я бы рассмотрел случай, когда мух не 9, а 4 - решение при этом элементарно (мухи расположатся в вершинах тетраэдра, расстояние при этом не превосходит как раз √3), и доказал бы, что прибавка дополнительных нескольких (в данном случае - пяти) мух не увеличивает расстояние между ними.
Проверьте меня, и если я не прав - вернитесь к ранее рассмотренному варианту с 6 мухами.

Используй принцип Дирихле