КОНТРОЛЬНАЯ ПО МАТЕМАТИКЕ!!! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА

2) Найдите первообразную функции f(x)=4*x^3-6

F(x)=x^4- 6x + C

7) В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 10. Боковые ребра равны 3. Найдите объем призмы.
V=So*h

V=100*3=300

5) Упростите выражение (ctg(x))^2*sin(x))^2 -cos(2*x)

=cos^2x-cos(2*x)= cos^2x - cos^2x + sin^2(x)= sin^2(x)

6) Найдите промежутки возрастания функции y=2*x^3-3*x^2-36*x

D(y)= R

y'=6x^2 - 6x -36

y'=0, 6x^2 - 6x -36=0,
x^2 - x - 6=0
D=25,
x1=-2, x2=3
x^2 - x - 6 = (x+2)(x- 3)

_______+__-2___-___3___+_______y'
(∞;-2]; [3;+∞) -промежутки возрастания функции
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

4) Какие координаты имеет вектор 2a ⃗-b ⃗ если a ⃗(2;-5), b ⃗ (-1;3)
2a ⃗-b=2(2;-5)- (-1;3)= (4;-10)-(-1;3)= (5;-13)

1) Площадь равна определенному интегралу S = | (x^2+7)dx, на отрезке от -4 до -1.
S = | (x^2+7)dx = (1/3)*x^3 + 7x | (xн=-4; xв=-1) = ((1/3)*(-1)^3 + 7*(-1)) - ((1/3)*(-4)^3 + 7(-4)) = -1/3 - 7 - (-64/3 - 28) = -1/3 - 7 + 64/3 + 28 = 63/3 + 21 = 21 + 21 = 42
Ответ: площадь S=42

2) F(x)= Интеграл (f(x)) = | (4*x^3-6)dx = | 4*x^3 dx - | 6dx = 4*(1/(3+1))*x^(3+1) - 6*x^1 =>
=> 4*(1/4)*x^4 - 6x = x^4 - 6x + C
Ответ: F(x) = x^4 - 6x + C, где С - константа.

3) f '(x) = (2*x^3 - 3*x^2 - 1)' = 2*3*x^(3-1) - 3*2*x^(2-1) - 0 = 6x^2 - 6x
Точки экстремума будут там, где производная f' от функции f(x) будет равна нулю:
6x^2 - 6x = 0 => 6x(x-1) = 0, очевидно, что корни уравнения это x1=0 и x2=1, потому что именно при этих значениях x функция f '(x) = 0.
Найдем значения функции f(x) в этих точках:
f(x1) = f(0) = 2*x^3 - 3*x^2 - 1 = 2*0^3 - 3*0^2 - 1 = -1
f(x2) = f(1) = 2*x^3 - 3*x^2 - 1 = 2*1^3 - 3*1^2 - 1 = -2

Координаты точек экстремума запишем в виде (x; y)
Тогда Ответ: точки экстремума находятся в координатах (0; -1) и (1; -2)

4) Координаты вектора 2a-b найдем таким образом:
2a-b:
координата по оси X: x = 2*(2) - (-1) = 4+1 = 5
координата по оси Y: y = 2*(-5) - 3 = -10-3 = -13
Ответ: координаты вектора 2a-b это (5; -13)

6) Промежутки возрастания функции будут там, где производная y' будет больше нуля (положительная).
y' = (2*x^3-3*x^2-36*x)' = 6*x^2-6*x-36
Найдем корни y ' (x)=0: 6*x^2-6*x-36 = 0 => 6*(x^2 - x - 6) = 0
Корни квадратного уравнения:
D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25
x1 = (-b - Корень (D)) / 2a = (-(-1) - 5) / 2*1 = -2
x2 = (-b + Корень (D)) / 2a = (-(-1) + 5) / 2*1 = 3
Между точками x1=-2 и x2=3 есть точка X=0 (поскольку -2<0<3), тогда найдем производную в этой точке и узнаем, будет она больше нуля или меньше:

y' (0) = 6*x^2-6*x-36 = 6*0^2-6*0-36 = -36, то есть производна между точками -2 и 3 меньше нуля, а следовательно, до точки -2 она положительная и после точки 3 тоже положительная. Значит функция возрастает на отрезках (-бесконечность; -2] и [3; +бесконечность), а на промежутке [-2; 3] она убывает.
Ответ: функция возрастает в промежутках (-бесконечность; -2] и [3; +бесконечность).

5) и 7) не решил