Помогите с математикой , плз

2) Ну первый пункт на фото — следствие формулы понижения для сочетаний (она же — основное свойство треугольника Паскаля), применённой (n - k) раз. Формула имеет вид
Cⁱₙ = Cⁱ⁻¹ₙ₋₁ + Cⁱₙ₋₁
Если применить эту формулу нужное число раз, получится первая формула (первые два шага — на первом фото)

3 и 4) Обе эти формулы — следствия бинома Ньютона (второе фото):
(1 + x)ⁿ = C⁰ₙx⁰ + C¹ₙx¹ + … + Cⁿₙxⁿ = ΣCⁱₙxⁱ
Подставляем сюда x = 1 и получаем
(1 + 1)ⁿ = 2ⁿ = C⁰ₙ + C¹ₙ + … + Cⁿₙ = ΣCⁱₙ
Подставляем x = -1 и получаем
(1 - 1)ⁿ = 0 = C⁰ₙ - C¹ₙ + … + (-1)ⁿCⁿₙ
Смена n на n + 1 в этой формуле даёт нужный результат.

5) А вот с этой формулой я очень давно не встречался, поэтому пришлось подумать. Рассмотрим такое тождество
(1 + x)ⁿ (1 + x)ⁿ = (1 + x)²ⁿ
Раскроем две скобки слева и скобку справа по биному Ньютона, который обсудили выше, и приравняем коэффициенты при xⁿ (если многочлены тождественно равны, то равны и все их коэффициенты).
Слева получится выражение вида
ΣCⁱₙxⁱ ΣCⁱₙxⁱ
Какой коэффициент в этом выражении будет при xⁿ? Для этого при перемножении из первой суммы нужно выбрать любое слагаемое Cⁱₙxⁱ, а из второй — дополняющее его до степени n, то есть слагаемое Cⁿ⁻ⁱₙxⁿ⁻ⁱ, и все их сложить (сложить по i).
Но из свойства симметрии Cⁿ⁻ⁱₙxⁿ⁻ⁱ = Cⁱₙxⁱ, поэтому коэффициент при xⁿ в левой части равенства (где две суммы, полученные перемножением (1 + x)ⁿ (1 + x)ⁿ) равен
Σ Cⁿ⁻ⁱₙxⁿ⁻ⁱ Cⁱₙxⁱ = Σ (Cⁱₙxⁱ)²
А коэффициент при этой же степени при раскрытии первой части равенства (то есть (1 + x)²ⁿ) по биному в точности равен
Cⁿ₂ₙ.

Я понятия не имею, чему сейчас учат в этих школах ваших
Это не решаемо