Как там я забыл вобщем да

623.

Будет обозначать правдолюбов буквой П, а лжецов — буквой Л.

Два варианта:
1) если говорящий — правдолюб, то оба его соседа должны быть лжецами, иначе его слова не будут правдивы;
2) если говорящий — лжец, то хотя бы один его сосед должен быть правдолюбом, иначе его слова будут правдой.

Выходит, что:
• два правдолюба не могут стоять рядом, иначе они оба солгут, назвав друг друга лжецами;
• в кругу не может быть трех лжецов подряд, иначе лжец посередине скажет правду, назвав своих соседей лжецами.

Также отметим, что число 1243 нечетное и делится на 3 с остатком 1.

При наименьшем количестве лжецов будет такая цепочка с нечетным количеством людей:

ПЛ ПЛ ПЛ … ПЛ Л

Последний, 1243-й человек не может быть правдолюбом, ведь он замыкает цепочку (ПЛ _ ПЛ) и становится по соседству с первым — правдолюбом, а правдолюбы не могут стоять рядом.

Выходит 1242 человека в парах и еще один лжец в конце.
Так что лжецов как минимум:
1242 / 2 + 1 = 622

При наибольшем количестве лжецов все лжецы, где это возможно, будут идти по два подряд:

ЛЛП ЛЛП ЛЛП … ЛЛП ЛП ЛП

Если цепочка будет замыкаться на ЛЛП _ ЛЛП, то на позиции _ не может быть ни лжец (иначе будет три лжеца подряд), ни правдолюб (иначе будет два правдолюба подряд). Поэтому ЛЛП в конце — не вариант. Перебрав остальные варианты, нетрудно убедиться, что в конце возможно только ЛП ЛП.

Выходит, что 1239 человек сгруппированы по три (с двумя лжецами в каждой группе), и есть еще два лжеца в конце.

Поэтому наибольшее количество лжецов равно
1239 • 2 / 3 + 2 = 413 • 2 + 2 = 826 + 2 = 828

Итак, возможное количество лжецов находится в диапазоне от 622 до 828.

Как получить промежуточные значения?
Начнем с цепочки ЛЛП ЛЛП ЛЛП … ЛЛП ЛП ЛП, в которой 828 лжецов.
Чтобы получить на одного лжеца меньше, берем крайнюю пару ЛЛП ЛЛП и заменяем ее на ЛП ЛП ЛП. Было четыре лжеца, стало три — на одного меньше. Остальная цепочка не изменилась, поэтому всего лжецов теперь 827.
Аналогичным образом можно получить 826, 825, … 624, 623 лжеца в цепочке.

Итак, все промежуточные значения между 622 и 828 возможны.
Сколько всего возможных значений? Давайте прикинем.

Если бы мы брали диапазон от 30 до 40, то было бы всего 11 вариантов, или 40 − 30 + 1.
У нас же диапазон от 622 до 828, поэтому число вариантов равно 828 − 622 + 1 = …

Это и будет ответ.

623

сложно

олимпиадные задачки)