Ещё одна задачка по матеше

Для начала, заметим, что медианы АР и BR делят треугольник ABC на 4 равных треугольника и на 2 равных трапеции ABPR и BCRQ, где Q - точка пересечения медиан.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то медианы АР и BR равны биссектрисам углов при основаниях и пересекаются в точке O, которая является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Пусть точка M - середина стороны AB, тогда OM - медиана треугольника АВС и OM = 1/2 * AB.

Так как точка Q - середина стороны BC, то OQ также является медианой треугольника ABC и OQ = 1/2 * BC.

По условию OR = 2 см, следовательно, OM + OQ = OR, то есть:

1/2 * AB + 1/2 * BC = 2 см

AB + BC = 4 см

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AC = BC, откуда следует, что AB + AC = 4 см.

Таким образом, AB = AC = 2 см.

Рассмотрим трапецию ABPR.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АОМ со сторонами 1/2 AB и OM найдем длину ОР:

OR^2 = OM^2 + (1/2 AB)^2

OR^2 = (1/2 AB)^2 + (1/2 AB)^2

OR^2 = 1/2 AB^2

OR = 1/√2 * AB

OR = 1/√2 * 2 см = √2 см

Площадь трапеции ABPR:

S(trapezoid ABPR) = (AB + RP) * OR / 2

S(trapezoid ABPR) = (2 + RP) * √2 / 2

Рассмотрим треугольник ABR.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АОР со сторонами OR и AB найдем длину BR:

BR^2 = OR^2 + (1/2 AB)^2

BR^2 = 2 + 1/2 AB^2

BR = √(2 + AB^2/2)

BR = √(2 + 2) = √4 = 2 см

Так как медианы равнобедренного треугольника делят его на 4 равных треугольника, то площадь треугольника АВС равна:

S(ABC) = 4 * S(ABR) = 4 * (1/2 * AB * BR) = 4