Весьма забавная задачка на арифметическую прогрессию

Разность первого и второго равна разности второго и третьего? Или там более дальние номера членов прогрессии?

 .

          x² - 9x + 11         x² - 9x + 11                x² - 9x + 11

√(4 - √11)             + 2d = 2            + d = √(4 + √11) 

Как-то так?

Две переменные, два уравнения, x - только в показателе...

А вот если в левой части +kd, а в средней +nd, где k, n - целые числа, тогда жесть. Поэтому этот случай рассматривать не будем.

Можно рассмотреть среднее выражение как полусумму крайних.
И принять

 t = (x² - 9x + 11) / 2 

чтоб не таскать везде этот полином.

 (4 + √11)ᵗ + (4 - √11)ᵗ = 2 · 4ᵗ 

Видно, например, что это равенство выполняется для t = 1 и t = 0.
Для больших натуральных показателей часть бинома будет суммироваться, и сумма не сойдётся. Да и вообще, экспоненты не аддитивны, кроме вырожденных случаев. Думаю, формальное доказательство на просторах Интернета можно найти, а я бы поставил последний шиллинг на два корня, приведённые выше.

Тогда:

 x² - 9x + 11 = 0

      или

x² - 9x + 11 = 2 

И корни будут

 (9 - √37) / 2

(9 + √37) / 2

(9 - √45) / 2

(9 + √45) / 2 

А их произведение:

 (81 - 37) · (81 - 45) / 16 = 44 · 36 / 16 = 99 

Не уверен, что правильно обосновал, но решение выложу. Обозначим 4 - sqrt(11) = a, 4 + sqrt(11) = b, a < 4 < b . Зафиксируем значение x и обозначим (x^2 - 9x + 11)/ 2 = z; Если z = 0, то a^z = 4 ^ z = b^z = 1. Технически это арифметическая прогрессия, поэтому решения x^2 - 9x + 11 = 0 подходят. Если z > 0 : a^z < 4 ^ z < b^z, z < 0 : a^z > 4 ^ z > b^z, значит необходимым и достаточным условием является (a^z + b^z) / 2 = 4 ^ z. Рассмотрим функцию f(y) = y ^ z. При z != 0 и z != 1 функция является выпуклой на интервале (0, +inf), а значит и на отрезке [a, b]. Функция выпукла на отрезке [a,b] => функция на этом отрезке лежит ниже хорды, проведенной через концы отрезка. На этом отрезке в середине (при y = (a + b) / 2 = 4) лежит значение (a^z + b^z) / 2. Но при этом это же значение достигается на этом отрезке функцией при y = 4 => Значения z !=0 и z != 1 не подходят. Следовательно, остаются только решения x^2 - 9x + 11 = 0 и x^2 - 9x + 11 = 2 => x^2 - 9x + 9 = 0. Ну а тут из положительного дискриминанта и теоремы Виета следует, что произведение всех корней равно 99. Еще уточнение: при 0 < z < 1 функция вогнута, но тут по аналогии.