Найти арифметическую прогрессию

a - первый член АП, d - разность
Девять первых членов - a, a+d, a+2d, ..a+8d
Это 9a + (1+2+..+8)d = 9a + 36d.

Второй плюс восьмой - это (a + d) + (a+7d) = 2a+8d. Вот это равно 38. У нас одно уравнение, но два неизвестных - значит, их значения не могут быть найдены однозначно, мы можем только найти их взаимосвязь, выразить одно через другое.

2a+8d = 38
a+4d = 19
a = 19-4d

Любые комбинации мы найти не сможем, но с некоторыми это получится. В частности, нам везёт как раз с суммой первых девяти членов.

9a + 36d = 9(19-4d) + 36d = 9*19 -36d + 36d = 9*19 = 171.

Это ответ.

сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если a2 +a8=38
а2=а1+д
а8=а1+7д
---------------
стартовый шаг
2а1+8д=2(а1+4д) =2а5

a1+a9 = a2+a8 =38 - по свойству ариф. прогрессии, тогда S9=[(a1+a9)/2]*9

Воспользуемся формулой:

2a(n)=a(n-1)+a(n+1) (n-индексы, если что)

S=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=

=(a2+2a2)+(a5+2a5)+(a8+2a8)=

= 3*(a2+a5+a8) = 3*(a2+a8)+3a5=

= 3*(a2+a8)+3 (a2+a8)/2=

=4,5 * (a2+a8) = 4,5*38 = 171
_________________________________
а2+а8=а1+d+a1+7d=2a1+8d=38
Sn=(2a1+(n-1)d) * n/2 =
=(2a1+8d) *9/2 =38*4,5=171

a1+a9 = a2+a8 = a3+a7 = a4+a6 = 38
a5=38/2=19

S9 = 38*4+19=171

аN=a1+d•(N-1), N- индекс члена АП, а d- её разность.

а2+а8=а1+d+a1+d•7=2•a1+8•d=38.

Это одно линейное алгебраическое уравнение с двумя неизвестными! Так как количество уравнений меньше количества неизвестных, то определённого решения не существует. Можно, правда, выразить первый элемент прогрессии через её разность (или наоборот - разность АП через величину её первого члена). Получается а1=19-4•d

Искомая суммa первых N членов АП равна N•[a1+d•(N-1)/2]. Для девяти слагаемых получается 9•[19-4d+d•(9-1)/2]=171. Эта сумма не зависит от разности прогрессии d только в этом случае, потому что при N=9 сокращается -4d+d•(9-1)/2.