Помогите с решением задания по математике, пожалуйста

Ответ

Зачем тебе летом это ?

Для нахождения экстремумов функции двух переменных мы должны сначала найти ее стационарные точки (точки, в которых градиент функции равен нулю), а затем применить критерий второго порядка.

Градиент функции z = x^3 + 6xy + 3y^2 - 18x - 18y - это вектор из ее частных производных по x и y. Таким образом, чтобы найти стационарные точки, мы должны решить следующую систему уравнений:

∂z/∂x = 3x^2 + 6y - 18 = 0
∂z/∂y = 6x + 6y - 18 = 0

Решив эту систему уравнений, мы найдем стационарные точки.

Затем мы применяем критерий второго порядка, который использует матрицу вторых производных, называемую матрицей Гессе, чтобы определить, являются ли эти точки минимумами, максимумами или седловыми точками. Для этого мы должны вычислить вторые производные:

∂^2z/∂x^2 = 6x
∂^2z/∂y^2 = 6
∂^2z/∂x∂y = ∂^2z/∂y∂x = 6

Матрица Гессе будет иметь вид:

H = |6x 6|
|6 6|

Затем мы вычисляем детерминант этой матрицы (обозначенный как D), который определяет тип стационарной точки:

D = 6x*6 - 6*6 = 36x - 36

Если D > 0 и ∂^2z/∂x^2 > 0, то точка является минимумом. Если D > 0 и ∂^2z/∂x^2 < 0, то точка является максимумом. Если D < 0, то точка является седловой точкой.

Решив данную систему уравнений и применив критерий второго порядка, вы сможете найти и классифицировать все экстремумы функции z = x^3 + 6xy + 3y^2 - 18x - 18y.

Приступим к решению, сначала решим систему уравнений для определения стационарных точек:

∂z/∂x = 3x^2 + 6y - 18 = 0,
∂z/∂y = 6x + 6y - 18 = 0.

Сначала упростим второе уравнение, разделив его на 6, получим:

x + y - 3 = 0.

Выразим x через y:

x = 3 - y.

Теперь подставим x в первое уравнение:

3(3 - y)^2 + 6y - 18 = 0,
9(9 - 6y + y^2) + 6y - 18 = 0,
81 - 54y + 9y^2 + 6y - 18 = 0,
9y^2 - 48y + 63 = 0.

Разделим уравнение на 9:

y^2 - (16/3)y + 7 = 0.

Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант:

D = (16/3)^2 - 4*7 = 256/9 - 28 = 256/9 - 252/9 = 4/9,

√D = 2/3.

Тогда y = (16/3 ± 2/3) / 2 = (8 ± 1)/3.

Значит, y1 = 3, y2 = 7/3.

Теперь найдем соответствующие значения x:

x1 = 3 - y1 = 3 - 3 = 0,
x2 = 3 - y2 = 3 - 7/3 = 2/3.

Итак, стационарные точки: (0, 3) и (2/3, 7/3).

Теперь применим критерий второго порядка:

∂^2z/∂x^2 = 6x,
∂^2z/∂y^2 = 6,
∂^2z/∂x∂y = ∂^2z/∂y∂x = 6.

Матрица Гессе будет иметь вид:

H = |6x 6|
|6 6|

Вычисляем детерминант этой матрицы:

D = 6x*6 - 6*6 = 36x - 36.

Для точки (0, 3): D = 36*0 - 36 = -36 < 0, поэтому (0, 3) - седловая точка.

Для точки (2/3, 7/3): D = 36*(2/3) - 36 = 24 - 36 = -12 < 0, поэтому (2/3, 7/3) - тоже седловая точка.

Итак, у данной функции нет локальных минимумов или максимумов, только седловые точки.