Помогите с решением пожалуйста (математика) ?

Находим точки пересечения кривых 2x² = -2x + 4: х₁ =1, х₂= -2.

Нас интересует часть фигуры, расположенная в первом квадранте, поэтому берем отрезок [0;1]

Формула для объема тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой y=f(x) :

Млять такая хрень((( отобрали..

в каком "квадрате"? в "квадраНте"!

помогают будет 5

Для нахождения объема тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$, необходимо использовать формулу цилиндра:

$$V = \int_{a}^{b}\pi y^2dx$$

где $a$ и $b$ - координаты точек пересечения фигуры с осью $Ox$.

Для данной фигуры, точки пересечения можно найти решив систему уравнений:

$$2x^2 = -2x+4$$
$$2x^2+2x-4=0$$
$$x^2+x-2=0$$
$$(x+2)(x-1)=0$$

Таким образом, точки пересечения фигуры с осью $Ox$ - это $x = -2$ и $x = 1$.

Теперь, необходимо выразить $y$ через $x$ и подставить в формулу цилиндра:

$$V = \int_{-2}^{1}\pi (2x^2)^2dx - \int_{-2}^{1}\pi (-2x+4)^2dx$$

Вычислим интегралы:

$$\int_{-2}^{1}\pi (2x^2)^2dx = \frac{32}{5}\pi$$

$$\int_{-2}^{1}\pi (-2x+4)^2dx = \frac{64}{3}\pi$$

Тогда итоговый объем:

$$V = \frac{32}{5}\pi - \frac{64}{3}\pi = \frac{16}{15}\pi$$

Таким образом, объем тела, образованного вращением вокруг оси $Ox$, равен $\frac{16}{15}\pi$.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить границы интегрирования. Затем можно использовать формулу для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой: y = 2x^2 y = -2x + 4 2x^2 = -2x + 4 2x^2 + 2x - 4 = 0 x^2 + x - 2 = 0 (x + 2)(x - 1) = 0

Точки пересечения: x = -2, x = 1

1. Определим границы интегрирования. Фигура ограничена прямыми x = -1 и x = 1 (по первому квадранту). Для каждого значений x в интервале [-1, 1], значение y ограничено параболой и прямой:

y = -2x + 4 (для y >= -2x + 4) y = 2x^2 (для y <= 2x^2)

1. Запишем формулу для объема тела, полученного вращением фигуры вокруг оси Ох:

V = ∫[a,b]πy^2dx
где a и b - границы интегрирования.

1. Подставим границы интегрирования и найдем объем:

V = ∫[-1,1]π(2x^2)^2 - π(-2x + 4)^2 dx
V = π ∫[-1,1] 4x^4 - 16x^3 + 16x^2 dx
V = π [(4/5)x^5 - 4x^4 + (16/3)x^3] from -1 to 1
V = π [(4/5) - 4 + (16/3)] - [(4/5) + 4 - (16/3)]
V = π [(56/15) - (-56/15)]
V = (112/15)π
Ответ: объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, равен (112/15)π.

Направление ветвей: вверх
Вершина:
(
0
,
0
)
Фокус:
(
0
,
1
8
)
Ось симметрии:
x
=
0
Директриса:
y
=
−
1
8
Выберем несколько значений
x
и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения
y
. Значения
x
следует выбрать вблизи вершины.
Нажмите для увеличения количества этапов...
x
y
−
2
8
−
1
2
0
0
1
2
2
8
Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.
Направление ветвей: вверх
Вершина:
(
0
,
0
)
Фокус:
(
0
,
1
8
)
Ось симметрии:
x
=
0
Директриса:
y
=
−
1
8
x
y
−
2
8
−
1
2
0
0
1
2
2
8

найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадрате и ограниченной заданными параболой и прямой
y=3х^2+1
y=3х+1