Можно ли остаться на службе по контракту в той части в которой служишь и как это сделать?

Надо поговорить об этом с командиром части. Сначало надо подать рапорт о том, что хочешь служить по контракту и ждать пока его рассмотрят.

Рапорт военнослужащего, проходящего военную службу по призыву и изъявившего желание поступить на военную службу по контракту, регистрируется и принимается командиром воинской части к рассмотрению. Кроме того, военнослужащие по призыву, окончившие государственные, муниципальные или имеющие государственную аккредитацию по соответствующим направлениям подготовки (специальностям) негосударственные образовательные учреждения высшего профессионального образования, имеют право на заключение данного контракта без учета срока прохождения ими военной службы по призыву. Военнослужащий, рапорт которого принят к рассмотрению, является кандидатом.
По рассмотрении рапорта командир воинской части дает указания:
о проведении медицинского освидетельствования кандидата;
о проведении с ним мероприятий по профессиональному психологическому отбору;
о проверке соответствия уровня его образования, профессиональной и физической подготовки требованиям, установленным для поступающих на военную службу по контракту;
о рассмотрении его кандидатуры аттестационной комиссией воинской части.
Рапорт военнослужащему может быть возвращен военнослужащему по основаниям, установленным пунктом 5 статьи 5 Положения о порядке прохождения военной службы, утвержденного Указом Президента РФ от 16 сентября 1999 г. № 1237:
- при вынесении в отношении его обвинительного приговора и назначении наказания, ведении в отношении его дознания, предварительного следствия или передаче уголовного дела в суд;
- при наличии у него неснятой или непогашенной судимости за совершение преступления;
- если это лицо отбывало наказание в виде лишения свободы.
Соответствие кандидата требованиям, установленным для поступающих на военную службу по контракту, определяется аттестационной комиссией воинской части.
В отношении военнослужащих, завершающих прохождение военной службы по призыву и изъявивших желание поступить на военную службу по контракту, алгоритм отбора отличается тем, что начальный и предварительный этапы (при наличии соответствующих ресурсов) осуществляются заблаговременно в воинской части с последующим направлением всех результатов в пункт отбора (в соответствующем субъекте РФ) , где принимается решение по кандидату. Право заключения первого контракта от лица Министерства обороны Российской Федерации с обязательным испытательным сроком 3 месяца предоставлено командиру учебной воинской части, в которую отобранный кандидат направлен для прохождения военной подготовки. Это касается как кандидатов из числа гражданских лиц, так и из числа военнослужащих, завершающих военную службу по призыву. Факт (юридического закрепления) заключения (расторжения) контракта с гражданином и его поступления на военную службу (увольнения) будет объявляться в приказе Министра обороны.