Я медработник, работаю акушеркой в роддоме, на данный момент проживаю в Москве (регистрация) , стою на учет

если есть регистрация по месту проживания в Москве как вы пишите, просто идете в военкомат пишите заявление о постановке на воинский учет и все .Вас ставят ехать ни куда не надо.

А вы откройте свой военный билет на последних страницах и почитайте там правила воинского учета, которые вы обязаны соблюдать до исполнения вам 45 лет. И за их невыполнение в указанный срок предусмотрена административная ответственность в виде штрафа 500р.

В московский военкомат вы конечно можете пойти при наличии регистрации и попробовать встать на воинский учет, но далеко не факт, что вам разрешат это сделать без предварительного снятия в военкомате по прежнему месту жительства. Как говорят, попытка не пытка, может быть и получится. А если откажут, что между прочим полностью соответствует Закону, то вам придется ехать в свой город Георгиевск и сниматься там с учета. Дистанционного снятия с учета для граждан состоящих в запасе Законом вообще не предусмотрено.

Никаких новых законов по этому поводу не принималось. Это положение действует еще со времен СССР.

Ну не новый он никак)
Военнообязанные всегда должны были состоять на учете по месту жительства.. .
Сходите в военкомат, быть может и без поездки все решаемо.

На воинском учёте вы должны стоять по месту постоянной регистрации.
Если вы выезжаете на срок более 3х месяцев - по месту пребывания.
Никаких "и без поездки все решаемо" или "просто идете в военкомат пишите заявление" - снятие и постановка на воинский учёт производится при личном посещении военкомата.
Этому "новому закону" более 10 лет.
Что делать? - исполнять Закон, иначе штраф и вам и вашему работодателю.