На основании какого закона военкомат должен дать письменный ответ на обращение гражданина и в какие сроки?

На основании Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ (ред. от 03.11.2015) "О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации"

Статья 5. Права гражданина при рассмотрении обращения

При рассмотрении обращения государственным органом, органом местного самоуправления или должностным лицом гражданин имеет право:

3) получать письменный ответ по существу поставленных в обращении вопросов, за исключением случаев, указанных в статье 11 настоящего Федерального закона, уведомление о переадресации письменного обращения в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу, в компетенцию которых входит решение поставленных в обращении вопросов;
4) обращаться с жалобой на принятое по обращению решение или на действие (бездействие) в связи с рассмотрением обращения в административном и (или) судебном порядке в соответствии с законодательством Российской Федерации;
5) обращаться с заявлением о прекращении рассмотрения обращения.

Статья 12. Сроки рассмотрения письменного обращения

1. Письменное обращение, поступившее в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу в соответствии с их компетенцией, рассматривается в течение 30 дней со дня регистрации письменного обращения, за исключением случая, указанного в части 1.1 настоящей статьи.
(в ред. Федерального закона от 24.11.2014 N 357-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
1.1. Письменное обращение, поступившее высшему должностному лицу субъекта Российской Федерации (руководителю высшего исполнительного органа государственной власти субъекта Российской Федерации) и содержащее информацию о фактах возможных нарушений законодательства Российской Федерации в сфере миграции, рассматривается в течение 20 дней со дня регистрации письменного обращения.
(часть 1.1 введена Федеральным законом от 24.11.2014 N 357-ФЗ)
2. В исключительных случаях, а также в случае направления запроса, предусмотренного частью 2 статьи 10 настоящего Федерального закона, руководитель государственного органа или органа местного самоуправления, должностное лицо либо уполномоченное на то лицо вправе продлить срок рассмотрения обращения не более чем на 30 дней, уведомив о продлении срока его рассмотрения гражданина, направившего обращение.

На письменное обращение получишь и письменный ответ. На устное обращение никакого письменного ответа тебе не будет.

в первом ответе хорошо расписано