Поменяют ли батарею у телефона, если он еще на гарантии?

Согласно ч. 3 ст. 19 Закона о защите прав потребителей гарантийные сроки могут устанавливаться на комплектующие изделия и составные части основного товара. Гарантийные сроки на комплектующие изделия и составные части исчисляются в том же порядке, что и гарантийный срок на основной товар.
Гарантийные сроки на комплектующие изделия и составные части товара считаются равными гарантийному сроку на основное изделие, если иное не установлено договором. В случае, если на комплектующее изделие и составную часть товара в договоре установлен гарантийный срок меньшей продолжительности, чем гарантийный срок на основное изделие, потребитель вправе предъявить требования, связанные с недостатками комплектующего изделия и составной части товара, при их обнаружении в течение гарантийного срока на основное изделие, ЕСЛИ ИНОЕ НЕ ПРЕДУСМОТРЕНО ДОГОВОРОМ.
В любом случае, согласно ст. 10 Закона о Защите прав потребителей продавец должен своевременно предоставлять потребителю необходимую и достоверную информацию о товаре, обеспечивающую возможность их правильного выбора, в том числе о гарантийном сроке на товар и соответственно на его комплектующие, если эти сроки различаются.

нет

С чего бы? Если бы она после покупки не заряжалась, тогда да. За износ в процессе эксплуатации магазин не отвечает.

Нет, не поменяют.

Если батарея несъемная, то ремонт по гарантии.

Нет. Батарея - это аксессуар, на него гарантия не распространяется... Увы.
Кста, будете новую брать, в МТС не берите, там китайское фуфло втюхивают под видом оригинала.