Как починить сломанный шарнир (крепеж) наушников, чтобы были, как прежде в домашних условиях.

Вариант без клея :)

1.
Раскрутить верхнюю и нижнюю части вставить пластиковую спицу, на одном конце она уже с "шариком", а на втором конце сделать "шарик" самому. Обрезать спицу и сплющить её конец, с помощью нагрева. Края обязательно обработать надфилем - "маленький напильник" или если нет пилкой для ногтей, чтобы если получились острые края они не протёрли провода.

На фото не понятно, возможно, что верхняя часть не разбирается? Тогда, обрезать спицу, вставить концом где уже есть шарик - в верхнюю часть, а нижнюю придётся расплющивать на месте, конечно аккуратно.

2.
ПиСи: Есть ещё один вариант - идеальный - найти сломанные наушники, причем возможно, что корпус у некоторых моделей одинаковый, то есть у Вас получится несколько вариантов моделей, соответственно больше выбор, проще искать.

Если решите воспользоваться клеем - ОСТОРОЖНО, многие составы клея с удовольствием съедают пластик!!!

Намазать супер клеем, вставить на место как было и подержать.

Проблематично. Как прежде точно не сделать.

Цианоакрилат (суперклей) + сода пищевая. Если и сломается, то рядом, но не в месте склейки, держит намертво.
Сода химически реагирует с цианоакрилатом с образованием плотного акрилоподобного полимера. Для склеивания пластиковых вещей необходимо сначала склеить место разлома чистым клеем, чтобы правильно спозиционировать детали. Далее с обеих сторон излома необходимо нанести слой соды и прокапать ее клеем.

Намертво приклеить

К сожалению, это невозможно, будут проблемы